Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 32  (Okunma sayısı 3061 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 783
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 32
« : Ağustos 24, 2013, 02:15:27 ös »
Yalnızca $1, 2, 3$ rakamları kullanılarak, ilk ve son basamaklarında aynı rakam yer alan ve herhangi ardışık iki basamağında aynı rakam yer almayan kaç farklı $10$ basamaklı pozitif tam sayı yazılabilir?

$
\textbf{a)}\ 768
\qquad\textbf{b)}\ 642
\qquad\textbf{c)}\ 564
\qquad\textbf{d)}\ 510
\qquad\textbf{e)}\ 456
$
« Son Düzenleme: Temmuz 02, 2020, 04:10:55 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 32
« Yanıtla #1 : Eylül 29, 2013, 09:14:55 ös »
Yanıt: $\boxed{D}$

Ardışık basamakları farklı olup $1$ ile başlayıp $1$ ile biten $n$ basamaklı sayıların sayısını $a_n$ ile gösterelim. Açık şekilde $a_3 = 2$ ve sorumuzun cevabı $3a_{10}$.
$1$ ile başlayan; ama son basamağına bir kısıtlama getirilmemiş sayıların sayısı: $2^{n-1}$.
Bu durumda $1$ ile başlayıp $1$ ile bitmeyen söz konusu $n$ basamaklı sayıların sayısı $2^{n-1} - a_n$ olacaktır.
Bu sayının sonuna $1$ koyarsak, $n+1$ basamaklı $1$ ile başlayıp $1$ ile biten sayı elde edeceğiz.
O halde $a_{n+1} = 2^{n-1}-a_n$.
Açık şekilde, $a_4 = 2^2 - 2$, $a_5 = 2^3 - a_4 = 2^3 - 2^2 + 2$ ve $a_6 = 2^4 - 2^3 + 2^2 - 2$.
O halde $a_{10} = 2^8 - 2^7 + 2^6 -2^5 + 2^4 - 2^3 + 2^2 - 2^1$.
$\dfrac{a_{10}}2 = 2^7 - 2^6 + 2^5 - 2^4 + 2^3 - 2^2 + 2^1 - 1$ ile $a_{10}$ u toplarsak $\dfrac{3a_{10}}2  = 2^8 - 1 \Rightarrow 3a_{10} = 2^9 - 2 = 510$.

« Son Düzenleme: Temmuz 02, 2020, 04:11:12 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 32
« Yanıtla #2 : Temmuz 02, 2020, 04:10:26 öö »
Yanıt: $\boxed{D}$

Daha önce şurada daire diliminin boyanması problemini çözerek $n\geq 4$ için $a_{n+1}+a_n = k\cdot (k-1)^{n-1}$ indirgeme bağıntısını ve $a_n = (k-1)(-1)^n + (k-1)^n $ açık biçimini elde etmiştik.

Yukarıdaki problemde de $1,2,3$ rakamlarını kullanarak istenen özellikte yazılabilecek $n$ basamaklı sayıların sayısını $b_n$ ile gösterelim. Bizden istenen $b_{10}$ değeridir. İlk basamak ile $n$-inci basamak aynı olması istendiğinden, ilk basamak belirlendiğinde $n$-inci basamak da belirlenmiş oluyor. Bu sebeple ilk $n-1$ basamakla ilgilenmeliyiz. Daire dilimi boyama problemi ile ikişki kurarsak, $1,2,3$ rakamları ile $n-1$ basamaklı sayı yazma problemi $k=3$ renk ile $n-1$ daire dilimini boyama ile özdeştir. Bu sebeple $n-1$ basamağın belirlenme sayısı $b_n = a_{n-1}$ dir. O halde problemimizin çözümü $a_9$ olacaktır. $k=3$ iken

$$ a_n = 2\cdot (-1)^n + 2^n $$
olup $a_9=2\cdot (-1)^9 + 2^9 = -2 + 512 = 510$ bulunur.



Not:
Ayrıca daha fazla uygulama problemiyle ilgilenenler için burada video olarak şunları sundum:

1. $a_{n+1}+a_n = k\cdot (k-1)^{n-1}$ bağıntısının ispatı

2. 2019 JEE (Joint Entrance Exam) isimli sınava ait bir problemin çözümü

3. 2013 Tübitak Lise 1. Aşama 32. sorunun çözümü

4. Çetin ceviz bir kombinatorik problemin çözümü
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal