Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 25

[alpercay]

$|AB|=|AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[AB]$ kenarı üstünde yer almak üzere, $[CD]$ iç açıortay ve $m(\widehat{ABC})=40^\circ$ dir. $[AB]$ kenarının uzantısı üstünde ve $B$ den sonra yer alan bir $F$ noktası için, $|BC|=|AF|$ dir. $[CF]$ nin orta noktası $E$ olmak üzere, $ED$ ve $AC$ doğrularının kesişim noktası $G$ ise, $m(\widehat{FBG})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 150^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 135^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 120^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 105^\circ
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$(ADC)$ çemberi $BC$ yi $H$ de kessin. $\angle DHC={80}^{\circ }$ olacaktır. $AD=DH$ ve $HC=DC$.

$\angle DBH={40}^{\circ }$ olduğu için $BH=DH=AD$.

$AF=BC=HC+BH=AD+DF\Rightarrow DF=DC$ olur. $\angle BDC={120}^{\circ }\Rightarrow \angle DCE={30}^{\circ }$.

$FDC$ ikizkenar üçgeninde $DE$ kenarortay olduğu için aynı zamanda yüksekliktir. Bu durumda $GEC$ dik üçgeninde $\angle EGC={40}^{\circ }=\angle DBC$ olur. Aynı zamanda $\angle DCB=\angle DCG={20}^{\circ }$  olduğu için $BC=GC$ dir. $\angle GBC={70}^{\circ }\Rightarrow \angle GBD={30}^{\circ }\Rightarrow \angle GBF={150}^{\circ }$.