Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 24

[alpercay]

Ağırlıları $1, 2,..., 77$ gram olan $77$ taş ağırlıkları birbirinden farklı olan $k$ gruba kendinden daha hafif gruptan daha az taş içerecek biçimde dağıtılabiliyorsa, $k$ sayısı $\{9, 10, 11, 12\}$ değerlerinden kaçını alabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Toplam ağırlık $T = 1 + 2 + \cdots + 77 = 77 \cdot 39 = 3003$.

En ağır grubun ağırlığı en az $W_k = \left \lceil \dfrac {T}{k} \right \rceil$.

En ağır gruptaki taş sayısı en az $N_k = \left \lceil \dfrac {W_k}{77} \right \rceil$.

Hafif grup kendinden ağır gruptan daha fazla taş içereceğinden, toplam taş sayısı en az $N_k + (N_k + 1) + \cdots + (N_k + k-1) = k \cdot (N_k + \dfrac {k-1}{2}) \leq 77$ olacaktır.

$N_k \geq 1$ olduğu için $k=12$ nin $N_k$ yı hesaplamadan son eşitsizliği sağlamadığı görülür.

$k=10, 11$; $N_k \geq 4$, dolayısıyla $10 \cdot (4 + \frac 92) > 77$ olduğu için sağlamaz.

$k=9$ için; $W_k \geq 334$ ve $N_k \geq 5$. $9 \cdot (5 + 4) > 77$ olduğu için $k=9$ da sağlamaz.

O halde cevap, hiçbiri.