Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 22  (Okunma sayısı 2320 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 783
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 22
« : Ağustos 22, 2013, 04:29:08 ös »
$n^4+2n^3-20n^2+2n-21$ sayısı, $0\le n\lt2013$ koşulunu sağlayan kaç $n$ tam sayısı için, $2013$ ile bölünür?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2013, 05:00:44 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 22
« Yanıtla #1 : Nisan 27, 2014, 11:34:09 öö »
$(n^2+1)(n^2 + 2n - 21) \equiv (n^2 + 1)\left ((n+1)^2 - 22\right ) \equiv 0 \pmod {3 \cdot 11 \cdot 61}$

$\bmod 3$ için, $n \equiv 0,1$.

$\bmod 11$ için,
$n^2 \equiv -1 \pmod {11}$ denkliğinin çözümü yok.
$(n+1)^2 - 22 \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow n \equiv 10$.

$\bmod 61$ için,
$n^2 \equiv -1 \equiv 122 - 1 \equiv 121 \pmod {61} \Rightarrow n\equiv \pm 11 \pmod {61}$.
$(n+1)^2 - 22 \equiv 0 \equiv 122 \pmod {61} \Rightarrow (n+1)^2 \equiv 144 \pmod {61}$
$\Rightarrow n+1 \equiv \pm 12 \pmod {61} \Rightarrow n \equiv 11, -13 \pmod {61}$.
İkisini birleştirirsek, $n \equiv 11, -11, -13 \pmod {61}$

Çinlilerin kalan teoremine göre $$\begin{array}{rcl}
x &\equiv& a \pmod 3 \\
x &\equiv& b \pmod {11} \\
x &\equiv& c \pmod {61} \\
\end{array} $$ denkliğinin $\bmod {2013}$ te tam olarak bir çözümü olacağı için, $ n^4+2n^3-20n^2+2n-21 \equiv 0 \pmod {2013}$ denkliğinin çözüm sayısı $2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$ dır.
« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 12:05:30 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal