Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 18  (Okunma sayısı 2424 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 783
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 18
« : Ağustos 21, 2013, 05:08:15 ös »
$${2013\choose 1}+2013{2013\choose 3}+2013^2{2013\choose 5}+\dots +2013^{1006}{2013\choose 2013}$$ toplamının $41$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Haziran 28, 2020, 04:39:37 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 18
« Yanıtla #1 : Nisan 27, 2014, 11:05:57 öö »
Sorudaki toplama $A$ diyelim.
$$ \begin{array}{rcl}
(2+1)^{2013} + (2-1)^{2013} &=& 2\cdot {2013 \choose 0} \cdot 2^{2013} + 2\cdot {2013 \choose 2} \cdot 2^{2011} + \dots + 2\cdot {2013 \choose 2012} \cdot 2^{1} \\ \\
&=& {2013 \choose 2013} \cdot 4^{1007} + {2013 \choose 2011} \cdot 4^{1006} + \dots + {2013 \choose 1} \cdot 4^{1} \\ \\
&\equiv& 4A \pmod {41}
\end{array}$$
$4A \equiv 3^{2013} + 1  \equiv (3^4)^{503}\cdot 3 + 1 \equiv (-1)\cdot 3 + 1 \equiv -2 \equiv 80 \pmod {41}$

$\Rightarrow A \equiv 20 \pmod {41}$.
« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 12:07:15 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal