Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 11  (Okunma sayısı 2267 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 783
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 11
« : Ağustos 20, 2013, 05:53:52 ös »
$x^4+y^4+2x^2y+2xy^2+2=x^2+y^2+2x+2y$ eşitliğinin sağlayan kaç $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 2
$
« Son Düzenleme: Mayıs 26, 2014, 02:52:49 öö Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 11 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Eylül 28, 2013, 01:09:30 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

$(x^2 + y - 1)^2 = x^4 + y^2 + 1 + 2x^2y - 2y - 2x^2$
$(y^2 + x - 1)^2 = y^4 + x^2 + 1 + 2xy^2 - 2x - 2y^2$

Taraf tarafa toplarsak

$(x^2 + y - 1)^2 + (y^2 + x - 1)^2 = x^4 + y^4 + 2x^2y + 2xy^2 + 2 - x^2 - y^2 - 2x - 2y = 0$

Bu durumda $x^2 = 1 - y$ ve $y^2 = 1 - x$ olmalı.
$x^2 - y^2 = 1-y - (1-x) = (x-y) \Rightarrow (x-y)(x+y-1) = 0$
$x=y$ ise, $x^2 = 1- x \Rightarrow x^2 + x - 1$ den iki gerçel kök çıkacak.

$x+y=1$ ise $x^2 = 1 + x-1=x \Rightarrow x^2 - x = x(x-1)= 0$ den de iki gerçel kök çıkacak.

Bu durumda $(x,y)$ ikililerinin sayısı $4$ tür. Bunları yazalım:
$(0,1)$, $(1,0),\left(\frac{-1+\sqrt 5}{2}\right),\left(\frac{-1-\sqrt 5}{2}\right)$

« Son Düzenleme: Mayıs 26, 2014, 02:52:40 öö Gönderen: ERhan ERdoğan »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal