Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 02  (Okunma sayısı 2432 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 783
  • Karma: +14/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 02
« : Ağustos 18, 2013, 06:55:34 ös »
$p,q $ asal sayılar ve $ n $ pozitif bir tam sayı olmak üzere $$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{2013}{q}=\dfrac{n}{5} $$ eşitliğini sağlayan kaç $ (p,q,n)$ üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2013, 04:15:55 ös Gönderen: bosbeles »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2013 Soru 02
« Yanıtla #1 : Eylül 28, 2013, 11:09:07 öö »
Yanıt: $\boxed{A}$

$$(q + 2013p)=\dfrac {npq}5 \Rightarrow \left(1 + \dfrac {2013p}q\right) = \dfrac {np}5$$
  • $q\neq 5$ ise $5 | np$ ve $q | 2013p$ yani $q\in \{3,11,61,p\}$ olacaktır.

    $5 = \dfrac{np}{1+\dfrac{2013p}q}$

    $q \in \{3,11,61\}$ için $\left(1+\frac{2013p}q, p\right) = 1$ olduğu için $p=5$ olmalı.

  • $p=q$ için $5 = \dfrac{np}{2014}$.

    $2\cdot 19 \cdot 53 \cdot 5 = np \Rightarrow p \in {2,5,19,53}$.

  • $q=5$ için $5+2013p = np \Rightarrow 5 = (n-2013)p \Rightarrow p=5$ çözümü yukarıda ele alınmıştı.

$p,q$ değerlerine göre $n$ elde edileceği için sorudaki eşitliği sağlayan $(p,q)$ ikilileri $(5,3)$, $(5,11)$, $(5,61)$, $(2,2)$, $(5,5)$, $(19,19)$, $(53,53)$ olmak üzere $7$ tanedir.

« Son Düzenleme: Mayıs 19, 2014, 12:02:00 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal