mathematics and computer education orta nokta gösterimi {çözüldü}

[gahiax]

Problem(mathematics and computer education):

ABC üçgeninin AC ve AB kenarları üzerinden sırasıyla  D ve E noktaları alınıyor.
BD ile CE nin kesişim noktası M olmak üzere, A(BEM) = A(CDM) ise
MA' nın BC' yi orta  noktasında keseceğini ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

 çözümü şöyle olacak: Alan(BEC) = Alan(BDC) olduğundan bu üçgenlerin BC kenarına ait yükseklikleri de eşittir. Dolayısıyla ED // BC olur. Thales gereği AE/EB = AD/DC dir. AM nin M yönündeki uzantısı, BC kenarını N de kessin. BN = NC olduğunu göstereceğiz. Ceva'dan (AE/EB).(BN/NC).(CD/DA) = 1 olup BN = NC elde edilir. M noktası AN kenarortayı üzerindedir.

[sgmx]

   Herkese merhabalar. Geomania'yı tekrar hayata geçiren yönetici arkadaşlara sonsuz teşekkürler. Umarım sorunsuz bir şekilde çok uzun süre beraber oluruz. Şimdiden bütün üyelerimizin bayramı mübarek olsun...


Not: Resim görünür hale getirildi (L. Gökçe).

[alpercay]

Benzer bir problemle devam edelim...
"Centroid  Condition"


Not: Resim görünür hale getirildi (L. Gökçe).

[gahiax]

Bu soruya ekteki gibi bir  çözüm yaptım tam olarak doğru mu bilemiyorum yorumlarınızı bekliyorum.

[matematikolimpiyati]

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $AD,\ BE$ ve $CF$ kesenleri üçgenin içinde bir $M$ noktasında kesişmektedir. Sarı boyalı $BMD,\ CME$ ve $AMF$ üçgenlerinin hem alanları hem de çevreleri eşitse $ABC$ üçgeninin eşkenar olduğunu gösteriniz.


Not: Florian S. Parvanescu tarafından önerilen bu soru, 2000 yılında "The American Mathematical Monthly" dergisinde yayınlanmıştır.

[matematikolimpiyati]

Çözüm:



$A(CMD)=A,\ A(AME)=B,\ A(BMF)=C$ ve $A(BMD)=A(CME)=A(AMF)=S$ diyelim.

$ABC$ üçgeninde seva teoremindeki oranları alanlar cinsinden yazarsak

$\dfrac{S}{A} \cdot \dfrac{S}{B} \cdot \dfrac{S}{C}=1$ ve buradan da $S^3=ABC$ elde ederiz.

Şimdi alanlarla ilgili oranlar yazmaya devam edelim :

$\dfrac{S}{S+C}=\dfrac{|DM|}{|MA|}=\dfrac{A}{B+S} \implies S^2+SB=AS+AC$

$\dfrac{S}{S+A}=\dfrac{|EM|}{|MB|}=\dfrac{B}{C+S} \implies S^2+SC=BS+BA$

$\dfrac{S}{S+B}=\dfrac{|FM|}{|MC|}=\dfrac{C}{A+S} \implies S^2+SA=CS+CB$

Bu üç denklemi taraf tarafa topladığımızda

$3S^2=AB+AC+BC$ buluruz.

Son olarak $AB,\ AC$ ve $BC$ sayıları için Aritmetik Ortalama - Geometrik Ortalama eşitsizliğini kullanırsak

$S^2=\dfrac{AB+AC+BC}{3} \geq \sqrt[3]{A^2B^2C^2} =S^2$ elde ederiz. Eşitlik halinin sağlanabilmesi için sayıların eşit olması gerekir.

yani $AB=AC=BC$ ve buradan da $A=B=C$ sonucuna ulaşırız. Bu da bize $M$ noktasının $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olduğunu gösterir.

[matematikolimpiyati]

Şimdi $|BC|=2a,\ |AB|=2c,\ |AC|=2b,\ |AD|=3y,\ |BE|=3x,\ |CF|=3z$ diyelim ve genelliği bozmadan $a \geq b \geq c$ kabul edelim.

Üçgende uzun kenara ait kenarortay daha kısadır dolayısıyla $z \geq x \geq y$ ve buradan da $z+x \geq 2y$ yazabiliriz. 

Çevre eşitliklerinden

$b+x+2z=c+z+2y$  ve  $b \geq c$ olduğu için $z+2y \geq x+2z \implies 2y \geq z+x$ elde ederiz. Buradan da $2y=z+x$ çıkar ve eşitliğin sağlanabilmesi için $a=b=c$ olmalıdır.

Böylece $ABC$ üçgeni eşkenar olur.

[Lokman Gökçe]

@matematikolimpiyati, hoş bir problem, teşekkürler.

Halil İbrahim Ayana'nın çözümü ile $M$ noktasının ağırlık merkezi olduğunu anlayabiliyoruz. Geriye çevre eşitliklerini kullanarak $a=b=c$ olduğunu kanıtlamak kalıyordu. Bu kısmına biraz bakmıştım ve yoğunlaşmaya vaktim olmadı ama ikinci kısmın çözümü sandığımdan daha kısaymış.

[alpercay]

Yukarda verilen çözümle aynı; aklın yolu bir. Çözümü kaldırıyorum. İsteyen linke bakabilir.

Ağırlık merkezi olduğunu matkafasında da göstermiştik.

https://www.matkafasi.com/131532/ucgende-kesenlerin-ayirdigi-alanlar?show=131532#q131532 linkinden soru ve çözümü görülebilir.

[matematikolimpiyati]

hocam ben de gönderdiğiniz linki şimdi gördüm gerçekten de aynı
ama Halil İbrahim Ayana'nın çözümünde eksiklik var gibime geldi. Çözümdeki $a,\ b$ ve $c$ den ikisi $S$ ten büyük, bir tanesi $S$ ten küçük de olabilir. Örneğin $a>S,\ b>S$ ve $c<S$

[Lokman Gökçe]

Haklısınız. Halil İbrahim hocamın çözümü eksik olmuş. Tam çözümü de öğrenmiş olduk bu şekilde. Katkı veren tüm hocalarıma teşekkürler.

[matematikolimpiyati]

Çözüm 2 [Matematik Dünyası, 2015]:

$ABC$ üçgeninin $[AA_0],\ [BB_0],\ [CC_0]$ kenarortaylarını çizelim ve bunların kesişim noktasını ($ABC$ üçgeninin ağırlık merkezini) $G$ ile gösterelim. $M \neq G$ olduğunu varsayalım.

$M$ noktası $ABG,\ BCG,\ CAG$ üçgenlerinden birinde (örneğin $BCG$'de) olacak.

$G$ noktasından geçen ve $BC$'ye paralel olan doğru $AD$ doğrusunu $T$ noktasında kessin.

$A(AFM) > A(AC_0T) = \dfrac{A(BAT)}{2} = A(BDT) > A(BDM)$ çelişkisini elde ederiz. Bu da bize $M=G$ olduğunu kanıtlar.



Dipnot: Bu soru "Matematik Dünyası" dergisinin 100. sayısında "Problemler ve Çözümleri" köşesinde sorulmuş ve 102. sayıda sorunun çözümü verilmiştir.