17. Antalya olimpiyat soruları 2012

[FEYZULLAH UÇAR]

herkese kolay gelsin

[Lokman Gökçe]

Başlayalım

Çözüm 1: x tane öğrenci, y tane kalemi, tanesine z kuruş ödeyerek alsınlar. Bizden z nin rakamları toplamı isteniyor. Verilenlerden

x.y.z = 1045

12 < x < 26

z > y > 2

yazılır. x.y.z = 5.11.19 olduğundan sadece x = 19, y = 5, z = 11 olur. z nin rakamları toplamı 1 + 1 = 2.

[mgmatematikci15]

6.

[mgmatematikci15]

9

[FEYZULLAH UÇAR]

16.soru teleskopik ...kaçırmayalım dedim 

[FEYZULLAH UÇAR]

20.soru  şekil için kusura bakmayın ...

[FEYZULLAH UÇAR]

22.soru czm

[proble_m]

3, 4, 5 ve 7..

[proble_m]

18. soru için

http://geomania.org/forum/kombinatorik/at-yarisi-kac-farkli-sekilde-sonuclanir/msg8040/#msg8040 adresini inlecelenebilir.

[Lokman Gökçe]

18. problemin genel çözümünü açıklayan Barış bey'e teşekkürler. Alt durum analizi yaparak kombinasyonlar toplamı olarak bir çözüm verelim:

18. sorunun 2.çözümü:

herkes farklı puan alırsa 4! = 24 farklı sıralama olur.

İki kişi aynı puanı alıp, diğer ikisi farklı puan alırsa aynı puanı alanları tek bir kişi gibi düşünerek C(4,2).3! = 36 farklı sıralama olur.

3 kişi aynı puanı alır, biri farklı puan alırsa aynı puanı alanları bir kişi gibi düşünerek C(4,3).2! = 8 sıralama olur.

4 kişi de aynı puanı alırsa 1 sıralama olur.

Ayrıca iki kişi aynı puanı, diğer iki kişide kendi içinde aynı puanı alırsa 4 kişi arasından ilk 2 yi oluşturan 2 kişiyi seçmek gereklidir. C(4,2) = 6 sıralama olur.

Toplam = 24 + 36 + 8 + 1 + 6 = 75 olur.

[Lokman Gökçe]

2. sorunun çözümü:

Sekiz basamaklı rakamları farklı olan sayı abcdefgh olsun. Bu sayıyı abcd0000 + efgh şeklinde yazabiliriz. Buradan abcd.10⁴ + efgh = 0 (mod 9999) olmalıdır. Dolayısıyla abcd + efgh = 0 (mod 9999) Rakamların birbirinden farklı olduğunu göz önüne alırsak abcd + efgh = 9999 olmak zorundadır. Ayrıca a + e = b + f = c + g = d + h = 9 olması gerekir. O halde toplamları 9 olan rakamları incelemeliyiz. Bunlar {0, 9}, {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} olur.

a ile e nin seçimi 5 yolla, simetriden dolayı 2 ile çarparsak 5.2 = 10 yolla yapılır.
b ile f nin seçimi 4 yolla, simetri ile 4.2 = 8 yolla yapılır.
c ile g nin seçimi 3 yolla, simetri ile 3.2 = 6 yolla yapılır.
d ile h nin seçimi 2 yolla, simetri ile 2.2 = 4 yolla yapılır.

Çarpma yolu ile sayma prensibinden 10.8.6.4 = 1920 bulunur.

Fakat bu 1920 sayının içinde a = 0, e = 9 durumu ve d = 9, h = 0 durumları atılmalıdır. Bunların sayısı da
8.6.4 + 8.6.4 = 384 tür. O halde istenen durumarın sayısı = 1920 - 384 = 1536 bulunur.

[FEYZULLAH UÇAR]

8.soru czm

[FEYZULLAH UÇAR]

10.soru czm

[Ferhat GÖLBOL]

Yanıt-12: Çekirgenin 2 zıplayışta istenen noktaya gelmesi, (0,0) ve (1,0) noktalarına 5'er birim uzaklıkta tamsayı koordinatlı bir noktanın bulunmasını gerektirir ki böyle bir nokta yoktur. 3 zıplayış için örnek olarak önce (3,4), sonra (6,0), sonra (1,0) noktalarına zıplayabilir.

[Ferhat GÖLBOL]

Yanıt-13: Verilen sayılar açıkça harmonik dizi oluşturur. Harmonik dizi özelliğinden ortanca terim, ilk ve son terimin harmonik ortasıdır. a₆=2/(1/a₁+1/a₁₁)=1/22