14.ANTALYA (2009)1.AŞAMA SORULARI {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Alper Bey'in gönderdiği çözümde de bir noksanlık var aslında.  her x tamsayısı için f(2x) = -2x + 7 olduğu bulunduktan sonra burada 2x=X dönüşümü yapılmış. Fonksiyon tamsayılarda tanımlı olduğu için x/2 nin tamsayı olup olmadığını bilmiyoruz. Eğer x çift tamsayı ise bu dönüşüm yapılabilir. fakat x tek ise 2x=X dönüşümü yapılamaz.

Sorunun çözümü için şöyle bir alternatif yol izlenebilir: Önce f(f(x) + y) - f(y + 7) = x eşitliğini sağlayan fonksiyonların monoton azalan olduğunu gösterebiliriz. Dolayısıyla f bire bir fonksiyondur.  f(2x) = -2x + 7  eşitliğinden f(10) = -3 ve f(12) = -5 bulunur. Böylece f(10) > f(11) > f(12) olup -3 > f(11) > -5 tir. f tamsayılardan tamsayılara tanımlı olduğundan f(11) = -4 olmak zorundadır.

(Monoton azalanlığın ispatını da uygun bir zamanda yazarım inş.)

[Ferhat GÖLBOL]

Soru 16: $n^2+1001\cdot n$ ifadesini tam kare yapan en büyük $n$ pozitif tamsayısının rakamları toplamı kaçtır?

Çözüm: $n^2+1001\cdot n = a^2 \Longrightarrow  a>n $ olur. $ k \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere $a=n+k$ olsun. $n^2+1001\cdot n =n^2+2kn+k^2$ ve $n=\dfrac{k^2}{1001-2k}$ bulunur. $n$ ve $k$ pozitif tamsayılar olduğundan $n$ nin en büyük değeri $k=500$ için $250000$ ve rakamları toplamı $7$ olur.

[Ferhat GÖLBOL]

Soru 18: $4x^4-20x^3+17x^2+22x-2=0$ denkleminin köklerinden ikisinin çarpımı $-2$ olduğuna göre bu iki kökün kareleri toplamı kaçtır?

Çözüm: $4x^4-20x^3+17x^2+22x-2=(x^2+ax-2)(4x^2+bx+1)$ biçiminde çarpanlara ayıralım. $a, b$ katsayılarını hesaplayacağız.
$ 4x^4-20x^3+17x^2+22x-2=4x^4+(4a+b)x^3+(ab-7)x^2+(a-2b)x-2$ olur. Polinom eşitliğinden
\begin{array}{cc}4a+b=-20\\a-2b=22 \end{array}
olup $a=-2$ dir.  $x^2-2x-2=0$ denkleminde \begin{array}{cc} x_1+x_2=2\\x_1\cdot x_2=-2 \end{array}
$x_1^2+x_2^2=2^2-2\cdot(-2)=8 $ elde edilir.

[Ferhat GÖLBOL]

soru 19: 1'den 9'a kadar rakamların her birinin bir kez bulunduğu tüm 9 basamaklı sayılar arasında 1,2,3,4,5,6 rakamlarının artan sırada olduğu; 1,2,3,4,5,6,7 rakamlarının artan sırada bulunmadığı sayılara "iyi sayı" diyelim. Kaç iyi sayı vardır?

__1__2__3__4__5__6__

7 rakamını 6 rakamından önceki 6 boşluktan birine yerleştirebiliriz. Bundan sonra 8 rakamı için 7'nin sağı, solu ve 6'nın sağı dahil 8 farklı yere yerleştirebiliriz. 9 rakamını da 9 farklı boşluğa yerleştirebiliriz. Bu durumda toplam 6.8.9=432 'iyi sayı' yazılabilir.

[Lokman Gökçe]

10. problem için yeni bir başlık açarak https://geomania.org/forum/index.php?topic=6900.msg19897;topicseen#msg19897 bağlantısında
(Fonksiyonel Denklem - 2009 Antalya 2009 1. Aşama Sınavı'dan başlığı ile) paylaştım.

Sorunun tam çözümü verildi.