Cevap : $\boxed E$
$ n_{1} , n_{2} , ... , n_{k}$ negatif olmayan tamsayılar ve $n = n_{1} + n_{2} + ... + n_{k}$ olmak üzere,
$\left( \begin{matrix} n \\n_{1} , n_{2} , ... , n_{k} \end{matrix} \right) = \dfrac {n!} {n_{1}! n_{2}! ... n_{k}!}$
şeklinde tanımlansın. Multinom açılımı
$(x_{1} + x_{2} + ... +x_{k})^n = \sum _{n_{1} , n_{2} , ... , n_{k}=1}^{n} \left( \begin{matrix} n \\n_{1} , n_{2} , ... , n_{k} \end{matrix} \right) x_{1}^{ n_{1}}.x_{2}^{ n_{2}}...x_{k}^{ n_{k}}$
şeklindedir. Şimdi burada kullandığımız k sayısı temsili bir k sayısıydı. Birazdan kullanacağımız k sayısı, sorudaki k sayısı olacaktır. Öncelikle, $\binom{a}{b} = \dfrac {a!} {b!.(a-b)!} $özdeşliğini kullanarak
$\left( \begin{matrix} 100\\ k \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 100-k\\ l \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 100-k-l\\ 97-k-l \end{matrix} \right).6 = \left( \begin{matrix} 100\\ k,l,97-k-l \end{matrix} \right)$
olduğunu rahatça görebiliriz. $n_{1} = k , n_{2} = l$ ve $n_{3} = 97-k-l$ olarak alalım. $n = k+l+97-k-l = 97$ olacaktır. Ayrıca soruda aradığımız toplama $S$ diyelim. Buna göre
$(x_{1} + x_{2}+ x_{3})^{97} = \sum _{k , l , 97-k-l=1}^{97} \left( \begin{matrix} 97 \\k , l , 97-k-l \end{matrix} \right) x_{1}^{k}.x_{2}^{l}.x_{3}^{97-k-l}$
Katsayılar toplamını istediğimiz için $x_{1} = x_{2}= x_{3} = 1$ verelim.
$3^{97} = \sum _{k , l , 97-k-l=1}^{97} \left( \begin{matrix} 97 \\k , l , 97-k-l \end{matrix} \right) = 6S/100.99.98.$
$S = 3^{98}.53900$