Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2015 => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 18, 2015, 05:14:08 ös
-
Bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde $|AE|=|EF|=|FC|$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $AD$ kenarına teğet olan $O_1$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $E$ noktasında teğettir. Benzer şekilde $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $CD$ kenarına teğet olan $O_2$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $F$ noktasında teğettir. Buna göre $BO_{1}O_{2}$ üçgeninin alanının $DO_{1}O_{2}$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?
$
\textbf{a)}\ \dfrac{13+12\sqrt{2}}{17}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3+2\sqrt{2}}{5}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7+4\sqrt{2}}{13}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{12+5\sqrt{2}}{9}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{18+8\sqrt{2}}{21}
$
-
(Mehmet Utku Özbek)
Yanıt: $\boxed{A}$
Oran sorduğu için işlemi kolaylaştırmak adına değer verebiliriz. $|AE|=|EF|=|FC|=\sqrt{2}$ diyelim. $|O_{1}E|=r$ olsun. $O_{1}EA$ dik üçgen ve $AO_1$ açıortaydır. Dolayısıyla $\angle O_1AE=22.5^\circ$ dir. $\tan 22.5=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$ dir. O zaman
$\dfrac{r}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$ ve $r=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$ dir. İki çemberin eş olduğunu biliyoruz. Çünkü $BD$ köşegenine göre simetrik ve aynı konumdalar. Yani $O_{1}O_{2}FE$ dikdörtgendir. $BD$ köşegenini çizelim. $|O_1O_2|$ kesiştiği nokta $H$ olsun.
$BD \perp AC$ ve $AC // O_1O_2$ olduğu için $BD \perp O_1O_2$ dir. Üçgenlerin alanları oranı doğrudan $\dfrac{|BH|}{|DH|}$ a eşittir. $BD$ ile $AC$ kesişimi $K$ olsun. $|BH|=|BK|+|KH|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{6+5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}$ olur.
$|DH|=|DK|-|KH|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-r=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{6+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}$ olur. Böylece $\dfrac{|BH|}{|DH|}=\dfrac{6+5\sqrt{2}}{6+\sqrt{2}}=\dfrac{13+12\sqrt{2}}{17}$ bulunur.