Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1999 => Konuyu başlatan: geo - Nisan 26, 2014, 05:44:29 ös
-
$72$ tane pozitif böleni olan en küçük pozitif tam sayının on tabanına göre yazılımındaki rakamların karelerinin toplamı kaçtır?
$
\textbf{a)}\ 41
\qquad\textbf{b)}\ 65
\qquad\textbf{c)}\ 110
\qquad\textbf{d)}\ 123
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Normalde, böyle bir soruda $$72 = 2^3 \cdot 3^2 = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$$ olduğu için $$n=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1 = 13860$$ gibi bir sayı seçerek toplamda $72$ pozitif böleni olan sayıyı küçültmeye çalışırız. $13860$ sayısının rakamlarının kareleri toplamı $1^2 + 3^2 + 8^2 +6^2 +0 ^2 =110 $ dur. Ama cevabımız ne yazık ki $110$ değil.
$k=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$ olmak üzere $n=11k$ sayısının $72$ pozitif böleni vardır (Az önce gösterdik.).
$n=2^5\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$ sayısını ele alalım. $d(n)=6\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 72$ olduğu için ve $n=8k$ sayısı $n=11k$ sayısından daha küçük olduğu için $n=8k=10080$ sayısının rakamlarının kareleri toplamı $1^2 + 8^2 = 65$ tir. $10080 < 13860$ olduğu için $72 = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$ şeklinde bir çarpanlara ayırma $72 = 3\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ şeklinde bir çarpanlara ayırmadan daha küçük bir sonuç verecektir. Ama $72$ pozitif böleni olan en küçük sayı $n=10080$ sayısı mı? Aslında bunu söylemek o kadar da kolay değil.
Ya, daha küçük bir sayı varsa?
Aslında bu soruyu 1644'te Mersenne öğrencilerine sormuş (Kaynak: Elementary Number Theory In Nine Chapters, 1999 (https://doi.org/10.1017/CBO9780511756351), syf. 94):
$D(k)$ ile tam olarak $k$ pozitif böleni olan en küçük sayıyı gösterelim. Önce $60$ pozitif bölene sahip bir sayı bulun. Sonra $D(60)$ ı hesaplayın.
Rahatça görüldüğü üzere bizim sorumuzdan farklı değil.
Bu konu literatürde Highly Composite Number diye geçiyor. Kendisinden küçük sayılardan daha fazla bölene sahip sayılara, benim çevirimle bir hayli birleşik sayı diyoruz. $10080$ sayısı bir hayli birleşik bir sayı. Yani kendisinden küçük sayıların pozitif bölenleri sayısı $72$'den küçük. O zaman $72$ pozitif bölene sahip ilk sayı $10080$ dir.
Şimdi de bu sorunun çözümü için neler yapabiliriz, ona bakalım.
$(1)$ $72$ tane pozitif böleni olan sayılardan en fazla asal bölene sahip sayı, $72 = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ olduğu için, $5$ asal bölenli bir sayıdır.
$72$ tane pozitif böleni olan sayılardan en küçüğünü arıyorsak, bu asal sayılar $2$, $3$, $5$, $7$ ve $11$ olmalı. Aksi halde daha büyük olan asal sayı bu listedeki eksiklerden biri ile değiştirilirse aynı sayıda pozitif bölene sahip daha küçük bir sayı elde edilir.
$(2)$ Asal bölenlerden küçük olanın üssü, daha büyük asal bölenin üssünden daha az olamaz. Bu durumda, üsleri değiştirirsek daha küçük bir sayı elde edebiliriz.
$(3)$ Bu iki özelliğin yanında, Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Highly_composite_number) ve Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html)da bahsedilen bir üçüncü özellik var. En büyük asal bölenin üssü, sayı $4$ veya $36$ değilse $1$ olmalı. Muhtemelen bu özelliğin ispatı, diğer iki özelliğe göre daha uzun. Belki Highly Composite Numbers ile ilgili bir başlık altında bu özelliğin ispatı verilebilir. Şimdilik bu özelliği kullanmadan çözümümüze devam edelim.
$72$ tane pozitif bölene sahip, $(1)$ ve $(2)$ özelliklerini sağlayan $16$ farklı sayı vardır:
$\begin{array}{l|l|l}
1 & 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 & 2^{2}3^25^17^111^1 = 13860 \\ \hline
2 & 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 & 2^83^15^17^1 \\ \hline
3 & 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 & 2^53^25^17^1 = 10080 \\ \hline
4 & 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 4 & 2^33^25^27^1 \\ \hline
5 & 2 \cdot 2 \cdot 18 & 2^{17}3^15^1 \\ \hline
6 & 2 \cdot 3 \cdot 12 & 2^{11}3^25^1 \\ \hline
7 & 2 \cdot 4 \cdot 9 & 2^{8}3^35^1 \\ \hline
8 & 2 \cdot 6 \cdot 6 & 2^{5}3^55^1 \\ \hline
9 & 3 \cdot 3 \cdot 8 & 2^{7}3^25^2 \\ \hline
10 & 3 \cdot 4 \cdot 6 & 2^{5}3^35^2 \\ \hline
11 & 2 \cdot 36 & 2^{35}3^1 \\ \hline
12 & 3 \cdot 24 & 2^{23}3^2 \\ \hline
13 & 4 \cdot 18 & 2^{17}3^3 \\ \hline
14 & 6 \cdot 12 & 2^{11}3^5 \\ \hline
15 & 8 \cdot 9 & 2^{8}3^7 \\ \hline
16 & 72 & 2^{71} \\
\end{array}$
$(3)$ nolu özelliği kullansaydık $9.$, $10.$, $12.$, $13.$, $14.$, $15.$ ve $16.$ sayılar da iptal olacaktı.
$2^2 < 5^1$ ve $2^3 < 3^2 < 11$ özelliklerini kullanarak ilk dört sayıya baktığımızda $2^53^25^17^1 = 10080 < 2^{14}$ sayısının en küçük olduğu görülür.
$2$ veya daha az asal çarpandan oluşan sayılar ($2^{a} \cdot 3^{b}$) için, $a\geq b$, $a+b < 14$, $(a+1)(b+1) = 72$ ve $a+1 + b + 1 < 16$ şartları sağlanmalı. $8 \cdot 9 = 72$ ve $8+9 > 16$ olduğu için bu şekildeki sayılar $10080$ den küçük olamaz.
$[5,10]$ arasındaki sayıları $2$ nin üssü şeklinde yazmaya çalıştığımızda $10.$ sayı hariç diğerleri $2^{14}$ ten büyük olacaktır.
$10.$ sayı ile $3.$ sayıyı oranlarsak $\dfrac {15}{7} > 1$ çıkacağı için $3.$ sayı yani $10080$, $72$ pozitif bölene sahip en küçük sayıdır.
Referanslar:
Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Highly_composite_number)
Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html)
Mathematical Gems III, Rons Honsberger, 1985, Chapter 14, Syf. 193.
Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(C)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.