Dik üçgende alan

[geo]

$ABC$ üçgeninde ($m(\widehat{ BAC}) = 90^\circ$) $B$ açısına ait iç açıortay $[AC]$ nı $P$ de kesiyor. $[BC]$ üzerinde $Q$ noktası $m(\widehat {BPQ}) = 90^\circ$ olacak şekilde alınıyor. $|AC|=3$, $|BQ|=2$ ise $\text{Alan}(BPC)$ kaçtır?

Kaynak: https://youtu.be/Nm3PPZAI07Q?si=wTyEIx85W9bYtzJA

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Trigonometrik bir çözüm verelim. $\angle ABC=2\alpha$  olsun. Buna göre
$$AB=\dfrac{3}{\tan(2\alpha)}\quad \text{ve} \quad BP=\dfrac{3}{\cos \alpha.\tan (2\alpha)}$$
olur. $BP=2\cos \alpha=\dfrac{3}{\cos \alpha.\tan (2\alpha)}$  olduğundan $2\cos^2\alpha.\tan(2\alpha)=3$  olur.
$$[BPC]=\dfrac{BP.BC.\sin\alpha}{2}=\dfrac{3}{\cos \alpha.\tan(2\alpha)}.\dfrac{3}{\sin(2\alpha)}.\dfrac{\sin\alpha}{2}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{\cos^2\alpha.\tan(2\alpha)}=3/2$$
olarak bulunur.

[geo]

$P$ den $AB$ ye çizilen paralel $BC$ yi $O$ da kessin.
$\angle OBP = \angle ABP =\angle OPB$.
$\angle OPQ=90^\circ-\angle OPB = 90^\circ - \angle OBP = \angle PQO$ olduğu için $BO=OP=OQ=1$.
$ABOP$ dik yamuğunda $A(BOP)=A(AOP)$.
$A(BPC)=A(AOC)=\dfrac{OP\cdot AC}2= \dfrac 32$.