Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 25

[matematikolimpiyati]

Bir $XOY$ açısının $OX$  kenarı üzerinden $|OA|=3,\ |OD|=5$  olacak biçimde alınan $A$ ve $D$  noktaları$,\ OY$  kenarı üzerinde de $|OC|=4$ ve $|OB|>4$  olacak biçimde alınan $C$ ve $B$  noktaları için $[AB] \cap [DC] = \{E\}$  ve  $|AE|.|OB| = 3|EB|$  ise $|OB|$  kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{60}{7}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{55}{6}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{19}{4}  \qquad\textbf{d)}\ 8  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$\triangle OAB$ de $D, E, C$ noktaları için Menelaus uygularsak $$\dfrac{OD}{DA}\cdot \dfrac{AE}{EB} \cdot \dfrac{BC}{CO}=1$$ elde ederiz.
$OB=x$ dersek ve $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{3}{OB}=\dfrac{3}{x}$ eşitliğini Menelaus denkleminde yerine yazarsak $$\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{3}{x}\cdot \dfrac{x-4}{4}=1 \Longrightarrow 15x-60=8x \Longrightarrow x=\dfrac{60}7$$ olarak bulunur.