2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 3

[Lokman Gökçe]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her $p<n$ tek asal sayısı için $n-p$ de asal sayı ise, $n$ sayısına $\textit{iyi sayı}$ diyelim. En büyük iyi sayıyı bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Mantık çerçevesinde $n=1,2,3$ için $n$'den küçük tek asal sayı olmadığından iyi sayı olduklarını söyleyebiliriz. $n\leq 7$ için $n=5$ iyi sayı bulunur. $n\geq 8$ için $n-3$, $n-5$, $n-7$ sayıları asal olmalıdır. Bu sayılar $3$ modunda $n$, $n-1$, $n+1$'e denk olduklarından tam olarak biri $3$'ün katı olmalıdır. Asal olduklarından dolayı bu sayı $3$'e eşit olmalıdır.

$n-3=3$ ise $n=6$ olur, $n\geq 8$ olmalıydı. Çelişki.
$n-5=3$ ise $n=8$ olur fakat $n-7=1$ asal değildir.
$n-7=3$ ise $n=10$ olur ve bu bir iyi sayıdır.

Dolayısıyla tüm iyi sayılar $n=1,2,3,5,10$ olarak bulunur. En büyükleri $10$'dur.