Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

$x,y,z$ gerçel sayıları $x+y+z=1$ ve $xyz=xy+yz+zx$ koşullarını sağlıyorsa, $(x+yz)(y+zx)(z+xy)$ ifadesi $0,1,2,5$ sayılarından kaçına eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{B}$

İstenen ifadede ki parantezleri açalım, $$(x+yz)(y+zx)(z+xy)=(xyz)^2+xyz+xyz(x^2+y^2+z^2)+(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 \tag{1}$$ olacaktır. Şimdi problemin verilerini kullanarak buradaki ifadeleri elde etmeye çalışalım. $$(xyz)^2=(xy+yz+zx)^2=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2xyz( \underbrace{x+y+z}) \Rightarrow (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=(xyz)^2-2xyz \tag{2}$$ $$ (\underbrace{x+y+z})^2 = x^2+y^2+z^2+2(\underbrace{xy+yz+zx}) \Rightarrow x^2+y^2+z^2=1-2xyz \tag{3}$$ $(2)$ ve $(3)$ deki özdeşlikleri $(1)$ de kullanırsak $(x+yz)(y+zx)(z+xy)=(xyz)^2+xyz+xyz(1-2xyz)+(xyz)^2-2xyz = 0$ olup istenen ifadenin alabileceği tek değer $0$ dır.