Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $5(a^2+b^2)-8ab-6a$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -7
\qquad\textbf{b)}\ -6
\qquad\textbf{c)}\ -5
\qquad\textbf{d)}\ -4
\qquad\textbf{e)}\ -3
$

[mehmetutku]

Yanıt:$\boxed{C}$

$b$ terimini kare ifade içine atmayı kolaylaştırmak için ifadeyi $5$ ile çarpalım.  $25a^2-40ab+25b^2-30a$  olur.  Şimdi burada $b$  li terimleri tam kare içine atalım. 

$\Longrightarrow  (4a-5b)^2+9a^2-30a$    olur.  Şimdi ifadeyi tekrar eski haline döndürmek için $5$ e bölelim.

$\Longrightarrow  \dfrac{(4a-5b)^2}{5}+\dfrac{9a^2}{5}-6a$    olur.  Burada kalan  $a$  ları da tam kare yapmaya çalışalım.

$\Longrightarrow  \dfrac{(4a-5b)^2}{5}+ \left ( \dfrac{3a}{\sqrt{5}}-\sqrt{5} \right )^2 - 5$   olur.

Görüldüğü gibi en küçük değer $-5$  tir. Bu değeri  $a=\dfrac{5}{3}$  ve $b=\dfrac{4}{3}$   olduğunda  alır.