Söz konusu çember $B$ ve $C$ noktalarına olan uzaklıkları oranı $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{EB}{EC}=k$ sabit olan noktalar kümesi, diğer bir adıyla Apollonius (Apolonyus) çemberidir. Çember üzerindeki her $F$ noktası için $\dfrac{FB}{FC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{EB}{EC}=k$ sağlanır. Diğer bir deyişle $FBC$ üçgeninde $FD$ bir iç açıortay ve $FE$ bir dış açıortaydır. Bunu fark ettikten sonra sorunun geri kalanı için birçok farklı çözüm yapılabilir. Bu sorunun benzerleri IMO 1996/2, IMO 2010/4 da karşımıza çıkıyor.
$\angle BAF=2a,\ \angle FAC=2b,\ \angle FBC=2c,\ \angle FCB=2d$ olsun. $FE$ dış açıortay olduğu için $\angle CFE=\dfrac{2c+2d}{2}=c+d\Rightarrow \angle FEB=2d-\left(d+c\right)=d-c$ olur.
$\angle FAD=\left(a+b\right)-2a=b-a$. $AFDE$ kirişler dörtgeninde $\angle FED=\angle FAD=b-a$ olduğundan $a+d=b+c$ elde edilir. Şimdi de soruda verilen dikmeleri indirelim. $KBMF$, $KCLF$ ve $LAMF$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir.
$\angle MLF=\angle MAF=2a,\ \ \angle FLK=\angle FCK=2d\Rightarrow \angle MLK=2a+2d$. Benzer şekilde $\angle LMF=\angle LAF=2b,\ \ \angle FMK=\angle FBK=2c\Rightarrow \angle LMK=2b+2c$ elde edilir.
$a+d=b+c$ olduğunu daha önce göstermiştik. Bu durumda
$\angle LMK=\angle MLK\Rightarrow KL=KM$ olarak bulunur.
