limit {Çözüldü}

[edizalturk]

Çok önemli sonuçları ve değişik versiyonları mevcut olan güzel bir limit sorusu.

[senior]

Ekte 1/n'in grafiğinin bir kısmını çizdim ve altındaki alanı maviye boyadım. 1/n grafiğinin n=1'den itibaren altındaki alan ln(n)'dir çünkü 1/n'in integrali ln(n)'dir ve sınırlar [1,n] için ln(n)-ln(1) = ln(n) olur. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ... toplamını ifade etmek için ise 1/n grafiğinin üstüne n=1'den başlamak üzere 1'er aralıklarla dikdörtgenler çizdim. Bütün dikdörtgenlerin tabanları aynı ama yükseklikleri 1/2, 1/3, ... diye azalıyor. Bu dikdörtgenlerin alanlarından mavi bölgeyi çıkarırsak sarı bölge kalır ki bu da(n-->sonsuz için) istenilen limittir!. Grafiğin üst kısmında kırmızı bölgelerin içindeki dikdörtgenlere dikkat edilirse sarı alanlar dikdörtgenin yarısından fazladır, tamamından da azdır(1/n grafiğinin azalan eğimli(mutlak değeri tabiki) eğriselliğinin sonucu).
1.kırmızı bölgedeki dikdörgenin alanı = yüksekliği x tabanı = (1-1/2)*1,
2.kırmızı bölgedeki dikdörgenin alanı = yüksekliği x tabanı = (1/2-1/3)*1,
3.kırmızı bölgedeki dikdörgenin alanı = yüksekliği x tabanı = (1/3-1/4)*1,
...
n.kırmızı bölgedeki dikdörgenin alanı = yüksekliği x tabanı = (1/n-1/(n+1))*1,
Toplamları ise, terimler birbirini götürdükten sonra, 1 - 1/(n+1) olur ki sonsuzda(limit) 1 olur. Yani Sarı alanların toplamı 1'den küçüktür.
Aynı zamanda 1/2'den de büyüktür çünkü dikdörtgenin yarısından fazla
idi.
Gerçekten güzel bir soru.

[Tamer]

Harika gerçekten çok hoşuma gitti eline sağlık güneş 

[senior]

ben teşekkür ederim

[edizalturk]

Güzel bir çözüm yapmışsınız. Elinize sağlık. 

[edizalturk]

Bu limit değeri aslında bilinen Euler sabiti ve yaklaşık olarak 0,57. Bu soruya cebirsel bir ispat yapmak istedim. Eşitsizliğin sağ tarafını ispatladım ancak sol tarafını 0 dan büyük buluyorum. Biraz daha daraltıp 1/2 den büyük bulmaya muvaffak olamadım maalesef.  

[senior]

ispatınızı yazın belki aklımıza bir şey gelir 

[edizalturk]

...

[senior]

en son vardığınız yerden devam edicem. Limitin 1/2'den büyük olduğunu göstermekle yetincem yani. Sorudaki limit de 1/2 kapatırsak geriye kalan ifadenin 0'dan büyük olması lazım.
Sizin eşitsizliğinize göre ln(1+1/n) < 1/n idi. O zaman 1/n'lerin yerine ln(1+1/n) yazıp hala ifadeyi(1/2 çıkarılmış hali) 0'dan büyük buluyorsak ispat tamam olur.
1 + ln(1+1/3) + ln(1+1/4) +  ... + ln(1+1/n) - ln(n) = 1 + ln(4/3) + ln(5/4) ... + ln((n+1)/n) - ln(n) = 1 + ln((n+1)/3n) 'dir. İfadenin limiti 1 + ln(1/3) olur ama bu 0'dan küçüktür arayı kapatmak için birkaç terimi daha gözden çıkarıyorum , yani
1 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ln(1/6) 'yı deneyelim ki bu da 0'dan küçük çıkar. Ama
1 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ln(1/7) > 0 olduğu için ispatımız tamamlanır.

[edizalturk]

Elinize sağlık. Teşekkür ederim. Ancak ispatınızda biraz değer bulmaya ihtiyaç var. İnşallah direk ispatını yaparız.

[senior]

evet, başka yolları da düşüneceğim