Apollonius Çemberi kullanılan en büyük alan sorusu {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $ABC$ üçgeninde $|AB|=4$ ve $|CA|= 2|BC|$ ise, $Alan(ABC)$ en fazla kaç olabilir?


Önceki yıllarda bu probleme eşdeğer olarak Tübitak Lise 1. Aşama sınavında, $ABC$ üçgeninin $C$ köşesinden inen yüksekliğinin en fazla kaç olabileceği sorulmuştu diye hatırlıyorum. Soruyu ortalama eşitsizlikleri, max değer için parabol bilgisi veya bir değişkenli fonksiyonlarda türev gibi yöntemlerle de çözebiliriz. Fakat, bence bu soruların en hızlı çözümü Apollonius Çemberi ile yapılır. Bunları paylaşalım.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 1: $|CA|=2a, |CB|=a$ ve $|AB|=4$ olsun. $C$ nin iç açıortayı ve dış açıortayını çizelim. Bu açıortaylar $AB$ doğrusunu sırasıyla $D$, $E$ noktalarında kessin. Açıortay teoremlerinin iyi bilindiğini varsayarak $|BE|=4$, $|DB|=\dfrac{4}{3}$ olduğunu söyleyebiliriz. Böylece $|DE|=4+\dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{3}$ buluruz.

Bu açıortayların birbiriyle dik kesiştiğini iyi biliyoruz. Yani $m(\widehat{DCE})=90^\circ $ dir. Dikkat ediniz ki, $|DE|$ uzunluğu sabit ve bu uzunluğu gören $\widehat{DCE}$ açısı da sabittir. O halde bu değişken $C$ noktasının geometrik yeri nedir? Tabii ki, $|DE|$ çaplı çemberdir. İşte bu çembere, $ABC$ üçgeninin $C$ noktasına göre Apollonius çemberi deniyor. $C$ den $AB$ doğrusuna bir dikme çizelim ve yüksekliğin ne zaman en büyük değere ulaşacağını gözlemleyelim. Tam olarak bu $C$den inen yükseklik, çemberin $O$ merkezinden geçtiği zaman, yüksekliğin en büyük değerini alacağını rahatça görebiliyoruz. $C$ yi kırmızı noktalı çember üzerinde gezdirirsek, bunu daha iyi anlayabiliriz. $|CO|= \dfrac{|DE|}{2} = \dfrac{8}{3}$, $C$ den inen maksimum yüksekliktir. Peki, artık alanı hesaplayalım:

$$Alan(ABC)_\max = \dfrac{4\cdot (8/3)}{2} = \dfrac{16}{3}$$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Burada da ortalama eşitsizliklerini kullanalım. Heron formülü'nü kullanarak başlayalım. Üçgenin yarı çevresi olan $s$'i kolay hesaplamak için, üçgenin kenar uzunluklarına $2a, 4a, 4$ diyelim. $s = 3a+2$ olur. $Alan(ABC)=S$ olmak üzere $S^2 = (3a+2)(3a-2)(2+a)(2-a)=(9a^2 - 4)(4-a^2)$ olur. Bu bağıntıyı

$$  S^2 = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right)$$

biçiminde yazarsak aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini uygulamak kolaylaşır:

$\left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right) \leq \left[\dfrac{a^2 - \dfrac{4}{9} + 4-a^2}{2} \right]^2 = \left( \dfrac{16}{9}\right)^2$ olduğundan

$S^2 \leq 9\cdot \left( \dfrac{16}{9}\right)^2 \implies S \leq \dfrac{16}{3}$ elde edilir.

$S_\max = \dfrac{16}{3}$ olmasını sağlayan kenar uzunluklarını da belirleyelim. Ortalama eşitsizliğinde eşitlik analizi yapmalıyız, yani $a^2 - \dfrac{4}{9} = 4-a^2 $ olmalıdır. Buradan $a= \dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ olup üçgenin kenarları $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}, \dfrac{8\sqrt{5}}{3}, 4$ olur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 3: Çözüm 2'den çok farklı bir yol değil ama gösterelim: Parabol bilgisi ile soruyu şöyle çözebiliriz. Yine kenar uzunluklarına $2a, 4a, 4$ dedikten sonra Heron formülü ile

$$  S^2 = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right) $$

alan bağıntısını yazalım. $a^2 = t$ denirse ($t>0$),

$$  S^2 = f(t)  = 9\cdot \left(t - \dfrac{4}{9} \right) \left( 4-t \right) $$

parabol fonksiyonunu elde ederiz. Kolları aşağı yönlü olan bu parabol, tepe noktasında en büyük değerini alacaktır. Bu değer ise, köklerin aritmetik ortası olan $t = \dfrac{\dfrac{4}{9} + 4}{2} = \dfrac{20}{9}$ için elde edilir. $S_\max = \dfrac{16}{3}$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 4: Burada tek değişkenli fonksiyonlarda türev kavramından faydalanabiliriz. $S$ alanını kenarlar türünden

$$S^2 = f(a) = 9\cdot \left(a^2 - \dfrac{4}{9} \right)\left(4-a^2 \right)$$

biçiminde bulmuştuk. $f'(a) = 0$ denkleminin köklerini incelemeliyiz. $a>0$ olmalı ve buna uygun olarak türev denklemi çözülürse (ara işlemleri atlayarak) $a = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}$ olur. Bu değer yardımıyla $S_\max = \dfrac{16}{3}$ bulunabilir.

[alpercay]

Lokman Hocamın çizimini esas alalım:$\triangle ABC$ üçgeninin çevrel çemberini çizelim ve $\widehat{BCD}$ teğet kiriş açısının teğet kolu ile $[AB]$ kenarının uzantısının kesim noktasına $D$ diyelim.
Aynı yayı gören teğet kiriş açı ve çevre açılar birbirine eşit olacağından $m\widehat{CAD}=m\widehat{BCD}$ ve dolayısıyla $\triangle CBD\sim\triangle ACD$ olur. Benzerlik oranları kolayca yazılır ve $|BD|=4/3$, $|CD|=8/3$ olarak hesaplanır.

$\triangle BCD$ üçgeninin $[BD]$ kenarına ait yüksekliği $\triangle ABC$ üçgenin $[AB]$ kenarına da aittir ve $h\le8/3$ olacağından en çok $h=8/3$ alınabilir.

Buradan maksimum alan $$S=4(8/3)(1/2)=16/3$$ bulunur.