Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 09

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden ve $[BC]$ kenarının orta noktasından geçen doğru $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $D$ noktasında kesmektedir. $|AB|=15$, $|BC|=24$ ve $m (\widehat{ABC})=2\cdot m(\widehat{BCD})$ ise, $|DC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

$AB$ kenarını uzatıp $B$ tarafında $|BE|=12$ olacak şekilde bir nokta seçelim. Açıları yazarsak ekteki gibi olur. $EBM$ ve $AME$ benzerdir. Benzerlikten $\dfrac{|EM|}{|AE|}=\dfrac{|EB|}{|AM|}$ olur, buradan $|MA|=18$ elde edilir. $ABM$ ile $CDM$ benzer olduğundan $$\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{|MC|}{|MA|}\Rightarrow \dfrac{|CD|}{15}=\dfrac{12}{18}\Rightarrow |CD|=10$$ bulunur.

[DrLucky]

Cevap:$\boxed{B}$

$AB$ kenarını uzatıp $B$ tarafında $|BE|=12$ olacak şekilde bir nokta seçelim. Açıları yazarsak ekteki gibi olur. $EBM$ ve $AME$ benzerdir. Benzerlikten $\dfrac{|EM|}{|AE|}=\dfrac{|EB|}{|AM|}$ olur, buradan $|MA|=18$ elde edilir. $ABM$ ile $CDM$ benzer olduğundan $$\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac{|MC|}{|MA|}\Rightarrow \dfrac{|CD|}{15}=\dfrac{12}{18}\Rightarrow |CD|=10$$ bulunur.

Çözüm için teşekkürler. Açı yazma kısmında EBM üçgenindeki taban açıların alfa olduğunu nereden bulduk?

[Metin Can Aydemir]

Çözüm için teşekkürler. Açı yazma kısmında EBM üçgenindeki taban açıların alfa olduğunu nereden bulduk?

$|EB|=12$ olacak şekilde seçmemizin sebebi, $EBM$ üçgeninin ikizkenar olmasını istememiz. Dış açı $m(\widehat{ABM})=2\alpha$ ve üçgen ikizkenar olduğu için $\alpha$ oluyor.

[DrLucky]

Çözüm için teşekkürler. Açı yazma kısmında EBM üçgenindeki taban açıların alfa olduğunu nereden bulduk?

$|EB|=12$ olacak şekilde seçmemizin sebebi, $EBM$ üçgeninin ikizkenar olmasını istememiz. Dış açı $m(\widehat{ABM})=2\alpha$ ve üçgen ikizkenar olduğu için $\alpha$ oluyor.

Ah doğru. Gözümden kaçmış, sağ olun.