Gönderen Konu: İki bilinmeyenli denklem  (Okunma sayısı 364 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
İki bilinmeyenli denklem
« : Mart 22, 2021, 07:35:54 ös »
$p$ asal sayı olmak üzere, $$x^3+y^2=(x+y-2p)^2$$ denklemi için

a) Denklem sağlayan $(x,y)$ pozitif tamsayı çiftlerinin sayısını bulunuz.

b) Denklemin $p=2$ için pozitif tamsayılardaki çözümlerini bulunuz. (Metin Aydemir)
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: İki bilinmeyenli denklem
« Yanıtla #1 : Mart 26, 2021, 02:11:25 ös »
a) İfadeyi açarsak $$x^3+y^2=x^2+y^2+4p^2+2xy-4xp-4yp\Rightarrow x^3-x^2+4xp-4p^2=2y(x-2p)$$ $$\Longrightarrow \dfrac{x^3-x^2+4xp-4p^2}{x-2p}=2y\Longrightarrow x^2+(2p-1)x+(4p^2+2p)+\dfrac{8p^3}{x-2p}=2y$$ Buradan $\dfrac{8p^3}{x-2p}$ ifadesinin tamsayı olması gerektiği çıkar fakat sağ taraf çift olduğundan sol taraf da çift olmalıdır. $$x^2+(2p-1)x+(4p^2+2p)\equiv x^2-x\equiv 0\pmod{2}$$ olduğundan $\dfrac{8p^3}{x-2p}$ ifadesi de çift tamsayı olmalıdır. O yüzden $\dfrac{4p^3}{x-2p}$ ifadesinin tamsayı olmasını sağlamalıyız, böylece $\dfrac{8p^3}{x-2p}$ çift tamsayı olur. $4p^3$ sayısının bölenleri $p=2$ ve $p>2$ durumunda farklıdır.

$i)$ $p=2$ ise $\dfrac{32}{x-4}\in \mathbb{Z}$ olacaktır. $x$ pozitif olduğundan $x-4>-4$'dür. O yüzden sadece pozitif bölenlere değil ayrıca $-4$'den büyük negatif bölenleri de değerlendirmeliyiz. $x-4\in \{-2,-1,1,2,4,8,16,32\}$ ve buradan $x\in \{2,3,5,6,8,12,20,36\}$ elde edilir. Bu değerler için $y$'nin pozitif olup olmadığını kontrol etmeliyiz. Ana denklem şöyledir, $$x^2+3x+20+\dfrac{64}{x-4}=2y$$ $x$ pozitif olduğundan $x^2+3x+20$ pozitiftir, ayrıca $x>4$ ise $\dfrac{64}{x-4}$ pozitif olacağından $y$ kesinlikle pozitif olacaktır. O yüzden sadece $x=2$ ve $x=3$ kontrol edilmelidir. $x=2$ için $y=-1$ ve $x=3$ için $y=-13$ bulunur. Dolayısıyla $x=2$ ve $x=3$ sağlamaz. $x\in \{5,6,8,12,20,36\}$ bulunur. $6$ çözüm vardır.

$ii)$ $p\geq 3$ ise $4p^3$'ün pozitif bölenleri $\{1,2,4,p,2p,4p,p^2,2p^2,4p^2,p^3,2p^3,4p^3\}$'dür. Ayrıca $x>0$ olduğundan $x-2p>-2p$ olacaktır. O yüzden $-2p$'den büyük negatif bölenler de incelenmelidir. Bu bölenler $\{-1,-2,-4,-p\}$'dir ($p\geq 3$ olduğundan $-4$ de bu kümededir). $p\geq 3$ olduğundan $2p-1>0$ ve $4p^2+2p>0$'dır. Dolayısıyla $x^2+(2p-1)x+(4p^2+2p)>0$'dır. Eğer $x-2p$ pozitifse $y$'nin pozitif olacağı kesindir. Dolayısıyla sadece $x-2p\in \{-1,-2,-4,-p\}$ için pozitiflik incelenmelidir.

$iia)$ $x=2p-1$ ise $(2p-1)^2+(2p-1)(2p-1)+(4p^2+2p)+\dfrac{8p^3}{(2p-1)-2p}=2y$ elde edilir. Bu ifade düzenlenirse, $$-8p^3+12p^2-6p+2=2y\Longrightarrow -4p^3+6p^2-3p+1=-(p-1)(4p^2-2p+1)=y$$ elde edilir. $p\geq 3$ için ifadenin negatif olduğu barizdir. Dolayısıyla $x=2p-1$ olamaz.

$iib)$ $x=2p-2$ ise $(2p-2)^2+(2p-1)(2p-2)+(4p^2+2p)+\dfrac{8p^3}{(2p-2)-2p}=2y$ elde edilir. $$-2p^3+6p^2-6p+3=-2(p-1)^3+1=y$$ elde edilir. $p\geq 3$ için ifadenin negatif olduğu barizdir. Dolayısıyla $x=2p-2$ de olamaz.

$iic)$ $x=2p-4$ ise yerine yazıp düzenlersek,$$-p^3+6p^2-12p+10=2-(p-2)^3=y$$ elde edilir. $p\geq 4$ için ifadenin negatif olduğu barizdir fakat $p=3$ için $y=1$ olur. Dolayısıyla, $p>3$ için $x=2p-4$ de olamaz.

$iid)$ $x=2p-p=p$ ise yerine yazıp düzenlersek,$$-p^2+p=2y$$ elde edilir. İfadenin negatif olduğu barizdir.

Dolayısıyla $x-2p$'nin negatif olduğu değerlerden sadece $p=3$ için $x=2p-4$ değeri istenileni sağlar, aksi takdirde $y$ negatif bulunur. Dolayısıyla $p>3$ için $x\in \{2p+1,2p+2,2p+4,3p,4p,6p,2p+p^2,2p+2p^2,2p+4p^2,2p+p^3,2p+2p^3,2p+4p^3\}$ olur fakat $p=3$ için bu kümeye $2p-4$ de dahildir.

Dolayısıyla denklemin pozitif tamsayılardaki çözüm sayısı $p=2$ için $6$, $p=3$ için $13$ ve $p\geq 5$ için $12$'dir.

b) $a$ kısmından $p=2$ için $x\in \{5,6,8,12,20,36\}$ olacağını bulmuştuk. Bu değerleri yerine yazarsak, $(x,y)=(5,62),(6,53),(8,62),(12,104),(20,242),(36,713)$ çözümleri elde edilir.
« Son Düzenleme: Mart 26, 2021, 02:17:58 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal