$\left ( x_1,x_2 \right )=\left ( \dfrac{\sqrt{2021}+45}{2}, \dfrac{45-\sqrt{2021}}{2} \right )$ ve $\left ( y_1,y_2 \right )=\left ( \dfrac{\sqrt{2020}+44}{2}, \dfrac{44-\sqrt{2020}}{2} \right )$ olsun. Kökleri $\left ( x_1,x_2 \right )$ ve $\left ( y_1,y_2 \right )$ olan ikinci dereceden denklemleri yazalım. $x_1+x_2=45$ ve $x_1x_2=6$ olduğundan $$x^2-45x+6=0$$ denklemi elde edilir. $y_1+y_2=44$ ve $y_1y_2=-21$ olduğundan $$y^2-44y-21=0$$ denklemi elde edilir. $x_1^{2m}+y_1^{2n}$ ifadesinin tam değerini bulmamız gerekiyor. $A_n=x_1^n+x_2^n$ olsun. $x_{1,2}^n-45x_{1,2}^{n-1}+6x_{1,2}^{n-2}=0$ olduğundan $$\left ( x_1^{n}+x_2^{n}\right )-45\left ( x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)+6\left ( x_1^{n-2}+x_2^{n-2}\right)=0\Rightarrow A_n=45A_{n-1}-6A_{n-2}$$ olur. $A_0=x_1^0+x_2^0=2\in \mathbb{Z}$ ve $A_1=x_1+x_2=45\in \mathbb{Z}$ olduğundan $A_n$ toplamı her $n\in \mathbb{N}$ için tamsayıdır. Aynı işlemi $B_n=y_1^n+y_2^n$ için yaparsak $$B_n=44B_{n-1}+21B_{n-2}$$ olur ve $B_n$ de her $n\in \mathbb{N}$ için tamsayıdır. $A_n$ ve $B_n$ tamsayı olduğundan $x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}$ tamsayıdır. $$x_2=\dfrac{45-\sqrt{2021}}{2}<\dfrac{45-44}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 0<x_2^{2m}<\dfrac{1}{2^{2m}}<\dfrac{1}{2}$$ ve benzer şekilde $$\left \lvert y_2\right \rvert =\left \lvert {\dfrac{44-\sqrt{2020}}{2}}\right \rvert<\dfrac{45-44}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow 0<y_2^{2n}<\dfrac{1}{2^{2n}}<\dfrac{1}{2}$$ Buradan $0<x_2^{2m}+y_2^{2n}<1$ bulunur. Buradan $$x_1^{2m}+y_1^{2n}<x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}<x_1^{2m}+y_1^{2n}+1$$ olur. Düzenlersek, $$x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}-1<x_1^{2m}+y_1^{2n}<x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}$$ elde edilir. Buradan $f(m,n)=x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}-1$ bulunur.
a)
İddia 1: $x_1^n+x_2^n\equiv 6^n+1\pmod{19}$
İddia 1'in İspatı: $n=0$ için $x_1^0+x_2^0\equiv 2 \equiv 1+6^0\pmod{19}$ sağlıyor. $n=1$ için $x_1+x_2\equiv 45\equiv 1+6\pmod{19}$ sağlıyor. Şimdi $n\leq k$ için doğru olsun. $A_{k+1}\equiv 45A_{k}-6A_{k-1}\pmod{19}$ olduğundan $$A_{k+1}\equiv 45(6^k+1)-6(6^{k-1}+1)\equiv 44\cdot 6^k+39\equiv 6\cdot 6^k+1\equiv 6^{k+1}+1 \pmod{19}$$ olduğundan $n=k+1$ için doğrudur. Tümevarımdan tüm $n$ doğal sayıları için doğrudur.
İddia 2: $y_1^n+y_2^n\equiv 10^n+15^n\pmod{19}$
İddia 2'nin İspatı: İddia 1 ile benzer şekilde tümevarımla kolaylıkla gösterilebilir.
İddia 1 ve İddia 2'den $$f(m,n)\equiv x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}-1\equiv 1+6^{2m}+10^{2n}+15^{2n}-1\equiv 6^{2m}+10^{2n}+15^{2n}\pmod{19}$$ elde edilir. $(m,n)=(2020,2019)$ için $$f(2020,2019)\equiv 6^{4040}+10^{4038}+15^{4038}\equiv 6^{224\cdot 18+8}+10^{224\cdot 18+6}+15^{224\cdot 18+6}\pmod{19}$$ olur. Fermat teoreminden $6^{18}\equiv 10^{18}\equiv 15^{18}\equiv 1 \pmod{19}$ olur. Yerine yazarsak, $$f(2020,2019)\equiv 6^8+10^6+15^6\equiv 36^4+100^3+225^3\equiv (-2)^4+5^3+(-3)^3\equiv 114\equiv 0\pmod{19}$$ elde edilir. Dolayısıyla $19\mid f(2020,2019)$ olur.
b) $2020\mid f(m,n)$ ise $4\mid f(m,n)$ olmalıdır. Yani $x_1^{2m}+x_2^{2m}+y_1^{2n}+y_2^{2n}\equiv 1\pmod{4}$ olmalıdır.
İddia 3: $n\geq 2$ için $x_1^n+x_2^n\equiv (-1)^n\pmod{4}$
İddia 3'ün İspatı: İddia 1'e benzer şekilde tümevarımla gösterilebilir.
İddia 4: $y_1^n+y_2^n\equiv 2\pmod{4}$
İddia 4'ün İspatı: İddia 1'e benzer şekilde tümevarımla gösterilebilir.
İddia 3 ve 4'den $2m\geq 2$ için $$f(m,n)=(-1)^{2m}+2-1\equiv 2\pmod{4}$$ bulunur. Dolayısıyla $4\nmid f(m,n)$'dir. Yani istenen şartı sağlayan $(m,n)$ pozitif tamsayı çifti yoktur.
