2019 İngiltere 1. Tur Sorusu - Yarım Çember {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem: $[AB]$ çaplı yarı çember $\Gamma$ olsun. $C$ noktası $[AB]$ üzerinde ve $E, D$ noktaları $AB$ çember yayı üzerindedir. $E$ noktası, $B$ ile $D$ arasındadır. $\Gamma$ çemberinin $D$ ve $E$ deki teğetleri $F$ de kesişiyor. $m(\widehat{ACD})=m(\widehat{ECB})$ olduğuna göre, $$m(\widehat{EFD})=m(\widehat{ACD})+m(\widehat{ECB})$$ olduğunu kanıtlayınız.


Kaynak ve Not: 2019 British Math Olympiad 1. tur sorudur. Yarışma 30 Kasım 2018'de yapılmıştır. 2. Tur ise 2019 yılı içinde yapılmıştır. 1. tur sınavı, etkisi bakımından 2019 yılını ilgilendirdiği için, yarışma aşamalarıyla bütün olarak 2019 yılına ait olarak değerlendirilmektedir.

[Lokman Gökçe]

Çemberi tamamlayalım ve merkezini $O$ ile gösterelim. $EC$ doğrusu çemberi $G$ de kessin. $m(\widehat{ACD})=m(\widehat{ECB})=m(\widehat{GCA}) $ olduğundan $m(\stackrel \frown{DA}) = m(\stackrel \frown{AG}) = a$ diyelim. Merkez açı ve çevre açıdan $m(\widehat{AOD})=m(\widehat{DEG})=a$ olur. Böylece $EFCO$ bir kirişler dörtgeni olur.

Diğer taraftan, $OE \perp EF$, $OD \perp DF$ olduğundan $OEFD$ bir kirişler dörtgenidir.

Hem $EFCO$ hem de $OEFD$ kirişler dörtgeni olduğundan $EFDCO$ bir kirişler beşgenidir. $m(\widehat{EDF}) +m(\widehat{ECD})=180^\circ$ olduğundan $m(\widehat{EFD})=m(\widehat{ACD})+m(\widehat{ECB})$ elde edilir.



Bir Sonuç: Bu bilgilere göre, $FC \perp AB$ olmaktadır.