Benim kendi çözümüm de Atakan'ın çözümüne çok benzediğinden farklı bir bakış açısı amacıyla Kerem arkadaşımızın çözümünü paylaşacağım.
$$-30=(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc)$$ $$\Rightarrow a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=-10$$ Elde ettiğimiz eşitliği düzenlersek $$(b+c)(a^2+ab+ac+bc)=(a+c)(b^2+ab+ac+bc)=(a+b)(c^2+ab+ac+bc)=-10$$ eşitlikleri elde edilir. $ab+ac+bc=-11$ olduğundan $$(b+c)(a^2-11)=(a+c)(b^2-11)=(a+b)(c^2-11)=-10$$ bulunur. $a^2-11$, $b^2-11$ ve $c^2-11$ ifadeleri $-10$ sayısının bölenlerindendir. $x\in \mathbb{Z}$ olmak üzere,
$x^2-11$ ifadesi $-10$'un bölenlerindense $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 5$, $\pm 10$ değerlerini alır. Bu değerleri denersek $x^2-11$ ifadesi $-10$, $-2$ veya $5$ olabilir (Diğer değerler için $x$ tamsayı olmaz). Bu değerler için de $x^2$ ifadesi $1$, $9$, $16$ değerlerini alabilir. Dolayısıyla $a^2$, $b^2$ ve $c^2$ ifadeleri de bu değerleri alabilir.
$a^2$, $b^2$ ve $c^2$ ifadelerinden hiçbiri $16$ değilse, $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2-22$$ olacağından eğer $a^2$, $b^2$ ve $c^2$ ifadelerinin hepsi birden $9$ olmazsa, $$(a+b+c)^2\leq 1+9+9-22<0$$ olur. Çelişki. Eğer hepsi birden $9$ olursa da $(a+b+c)^2=9+9+9-22=5$ olur fakat $5$ tamkare değildir. Çelişki. Dolayısıyla $a^2$, $b^2$ ve $c^2$'den en az biri $16$ olmalıdır. Genelliği bozmadan $c^2=16$ olsun. $c=4$ veya $c=-4$'dür.
$i)$ $c=4$ ise $(a+b)(c^2-11)=-10$ olduğundan $a+b=-2$ bulunur. $ab+ac+bc=c(a+b)+ab=-11$ olduğundan $ab=-3$ bulunur. Buradan da $(a,b)=(1,-3)$ ve $(-3,1)$ çözümleri bulunur. $(a,b,c)=(1,-3,4)$ ve $(-3,1,4)$ değerleri ana denklemi sağladığından çözümdürler.
$ii)$ $c=-4$ ise $(a+b)(c^2-11)=-10$ eşitliğinden $a+b=-2$ ve $ab+ac+bc=c(a+b)+ab=-11$ eşitliğinden de $ab=-19$ bulunur fakat buradan çözüm bulunmaz.
Genelliği bozmadan $c^2=16$ dediğimizden, $a^2=16$ ve $b^2=16$ için de aynı şekilde çözümler elde ederiz. Tüm çözümler $(a,b,c)=(1,-3,4)$ ve permütasyonları bulunur.