ANALİZ PROBLEMİ KARMAŞIK SAYI

[Raven]

$a+b+c=3$
$a^2+b^2+c^2=5$
$a.b.c=6$ denklem sistemini sağlayan $a,b,c$ karmaşık sayıları için
$1/(ab^2c+ac-1)+1/(bc^2a+ba-1)+1/(ca^2b+cb-1)$ kaçtır?

[Squidward]

$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac)$ özdeşliği kullanılırsa, $ab+bc+ac = 2$ bulunur.

$a,b,c$ vieta formüllerinden $x^3-3x^2+2x-6$ polinomunun kökleridir. $i^2 = -1$ olmak üzere:

$x^3-3x^2+2x-6 = x^2(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x^2+2) = (x-3)(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})$

$\sum \dfrac{1}{ab^2c+ac-1} = \sum \dfrac{1}{6b+\frac{6}{b}-1}$ olduğu kullanılıp yerine yazılırsa sonuç bulunur.


Sondaki toplamı bulmak için belki daha kolay bir yol vardır fakat göremedim zaten yerine koymak yeterince kolay gözüküyor.