aralarında asal {Çözüldü}

[osmanekiz]

ardışık 10 doğal sayıdan en az birinin diğer dokuz tanesi ile aralarında asal olduğunu ispatlayınız.

[osmanekiz]

....

[alpercay]

Kitaplarda bulunan bir ispatı paylaşalım.
n, n + 1,...,n + 9 ardışık 10 tamsayı olsun.(n + r,n + s) = (n + r,|r - s|),           |r - s| < 10   olduğundan bu sayılardan en az birinin 10 dan küçük hiç bir asal sayı ile  bölünemediğini göstermek yeter.Sözü edilen sayılar arasında
2 ile bölünenlerin sayısı 5,
3 ile bölünen ve tek olanların sayısı en çok 2,
5 ile bölünen ve tek olanların sayısı tam 1,
7 ile bölünen ve tek olanların sayısı en çok 1
dir.On ardışık sayı içinde tam 5 tane tek sayı olduğundan ve bu 5 tek sayıdan 3,5 veya 7 ile bölünenlerin sayısı en çok 2 + 1 + 1 = 4 < 5 olduğundan,tek sayılardan en az biri 3,5 ve 7 den hiç biri ile bölünmez.İşte,bu tek sayı,diğerleri ile aralarında asaldır.