Gönderen Konu: Rusya 1991 Diofant Denklemi {çözüldü}  (Okunma sayısı 715 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Rusya 1991 Diofant Denklemi {çözüldü}
« : Temmuz 08, 2020, 11:29:46 ös »
Soru: $ab-2cd=3$ ve $ac+bd=1$ denklemlerini sağlayan tüm $a$, $b$, $c$, $d$ tam sayılarını bulunuz.


Kaynak: All Soviet Union Math Olympiads 1991, soru 535.
« Son Düzenleme: Temmuz 16, 2020, 02:02:21 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Rusya 1991 Diofant Denklemi
« Yanıtla #1 : Temmuz 16, 2020, 02:02:05 öö »
Çözüm:

Denklemlerin karelerini alırsak

$a^2b^2 + 4c^2d^2 -4abcd = 9$ ve $ a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd = 1$ olur. $abcd$ çarpımını yok etmek için ikinci denklemi $2$ ile genişletip ilk denklemle toplayalım:

$$ a^2b^2 + 4c^2d^2 + 2a^2c^2 + 2b^2d^2 = 11$$

olup buradan $4c^2d^2 \leq 11$ olup $|cd|\leq 1$ elde edilir. $cd \in \{ -1, 0, 1\}$ değerleri incelenirse yalnızca $cd =0$ durumundan çözüm gelir.

$c=0$ için $ab=3$, $bd=1$ olup $(a,b,c,d)=(3,1,0,1), (-3,-1,0,-1)$ bulunur.

$d=0$ için $ab=3$, $ac=1$ olup $(a,b,c,d)=(1,3,1,0), (-1,-3,-1,0)$ bulunur.

Denklem sisteminin toplam $4$ tane $(a,b,c,d)$ tam sayı çözüm dörtlüsü vardır.
« Son Düzenleme: Temmuz 17, 2020, 06:10:48 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal