Gönderen Konu: $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Denklemi {çözüldü}  (Okunma sayısı 772 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
$x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Denklemi {çözüldü}
« : Temmuz 02, 2020, 03:25:46 öö »
Problem (Lokman GÖKÇE): $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ denklemini sağlayan $(x,y)$ tam sayı ikilisi yoktur, gösteriniz.
« Son Düzenleme: Temmuz 02, 2020, 02:24:03 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Denklemi
« Yanıtla #1 : Temmuz 02, 2020, 01:41:31 ös »
Verilen denkleme $5$ modunda bakarsak,

i) $x\equiv 0\pmod{5}$ ise $$x^3+y^3+2xy^2\equiv y^3\equiv 0\pmod{5}\Rightarrow y\equiv 0\pmod{5}$$ olur.

ii) $x\equiv 1\pmod{5}$ ise $$x^3+y^3+2xy^2\equiv y^3+2y^2+1\equiv 0\pmod{5}$$ olur fakat bu denklemi sağlayan bir $y$ sayısı yoktur.

iii) $x\equiv 2\pmod{5}$ ise $$x^3+y^3+2xy^2\equiv y^3+4y^2+8\equiv 0\pmod{5}$$ olur fakat bu denklemi sağlayan bir $y$ sayısı yoktur.

iv) $x\equiv -2\pmod{5}$ ise $$x^3+y^3+2xy^2\equiv y^3-4y^2-8\equiv 0\pmod{5}$$ olur fakat bu denklemi sağlayan bir $y$ sayısı yoktur.

v) $x\equiv -1\pmod{5}$ ise $$x^3+y^3+2xy^2\equiv y^3-2y^2-1\equiv 0\pmod{5}$$ olur fakat bu denklemi sağlayan bir $y$ sayısı yoktur.

Dolayısıyla $x$ ve $y$, $5$'in katı olmalıdır. $x=5a$, $y=5b$ dersek, $$125a^3+125b^3+250ab^2=125(a^3+b^3+2ab^2)=355$$ olur. Eşitliğin sol tarafı $125$'e bölünürken sağ tarafı bölünmediği için denklemin çözümü yoktur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Denklemi
« Yanıtla #2 : Temmuz 03, 2020, 03:40:36 ös »
Bu problem üzerinde, Diofant denklemleri ile ilgili bilinmesi faydalı bir çözüm yönteminden bahsedeceğim. Bunun için $f(x,y)=x^3 +y^3 +2xy^2$ ifadesinde olduğu gibi homojen bir fonksiyon verilmesi gerekiyor. Her $x,y$ için $f(tx, ty)=t^nf(x,y)$ oluyorsa $f$ fonksiyonu $n$-inci mertebeden homojendir denir.


Çözüm:

$x^3 +y^3 +2xy^2=355$ denklemini $\mod 5$ te incelersek
$x^3 +y^3 +2xy^2 \equiv 0 \pmod 5 \tag{1}$
olur. Eğer $x\equiv 0 \pmod 5$ ise $(1)$ den dolayı $y\equiv 0 \pmod 5$ olur. $x=5a$, $y=5b$ olacak şekilde $a,b \in \mathbb Z$ vardır. Verilen denklemde yazarsak $125\nmid 355$ olduğundan buradan çözüm gelmediği anlaşılır.

O halde $ x\not\equiv 0 \pmod 5$ olsun. Bu halde $(x,5)=1$ olup $x$ tam sayısının $\mod 5$ içinde bir çarpımsal tersi vardır. Diğer bir deyişle $(1)$ denkliğini $x$ ile bölebiliriz.
$$ 1+ \dfrac{y^3}{x^3} + 2\dfrac{y^2}{x^2} \equiv 0 \pmod 5 $$
olur. $\mod 5$'deki bu $\dfrac{y}{x}$ elemanına kısaca $u$ diyelim.
$$ u^3 +2u^2 +1 \equiv 0\pmod 5 \tag{2}$$
olur. Fakat $u \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ değerleri $(2)$ denkliğini sağlamadığından bu durumda da çözüm yoktur.

Sonuç olarak $x^3 +y^3 +2xy^2=355$ Diofant denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.
« Son Düzenleme: Temmuz 03, 2020, 03:43:00 ös Gönderen: metonster »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal