Gönderen Konu: $x^2 + y^2 + 21z =560$ Denklemi {çözüldü}  (Okunma sayısı 736 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
$x^2 + y^2 + 21z =560$ Denklemi {çözüldü}
« : Temmuz 02, 2020, 02:19:34 öö »
Problem (Lokman GÖKÇE): $x^2 + y^2 + 21z =560$ denklemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$
« Son Düzenleme: Temmuz 02, 2020, 02:22:13 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: $x^2 + y^2 + 21z =560$ Denklemi
« Yanıtla #1 : Temmuz 02, 2020, 01:23:20 ös »
Cevap: $\boxed{C}$

$x^2+y^2=560-21z=7(80-3z)$'dir. Yani $x^2+y^2$ ifadesi $7$'ye tam bölünmelidir. Eğer $x$ ve $y$'den birisi $7$ ile bölünüyorsa diğeri de bölünmelidir. İkisi de bölünmüyorsa, $$x^2+y^2\equiv 0\pmod{7}\Rightarrow \left (\dfrac{x}{y}\right )^2\equiv -1\pmod{7}$$ olur fakat $-1$, mod $7$'de karekalan değildir. Çelişki. Dolayısıyla $x$ ve $y$, $7$'nin katı olmalıdır. $x=7a$, $y=7b$ dersek, $$49(a^2+b^2)=7(80-3z)\Rightarrow 7(a^2+b^2)=80-3z\Rightarrow 80-3z\equiv 0\pmod{7}\Rightarrow z \equiv 1\pmod{7}$$ Ayrıca eşitliğin sol tarafı pozitif olduğundan sağ tarafı da pozitif olmalıdır. Dolayısıyla $80>3z$ olmalıdır. Elde ettiklerimiz bilgilerden $z$'nin olası değerlerini bulabiliriz. $z=1,8,15,22$ olabilir.

i) $z=1$ ise $$a^2+b^2=11$$ olur fakat bunu sağlayan $a$ ve $b$ pozitif tamsayısı yoktur.

ii) $z=8$ ise $$a^2+b^2=8\Rightarrow (a,b)=(2,2)$$

iii) $z=15$ ise $$a^2+b^2=5\Rightarrow (a,b)=(1,2),(2,1)$$

iv) $z=22$ ise $$a^2+b^2=2\Rightarrow (a,b)=(1,1)$$

çözümlerini elde ederiz. Dolayısıyla $(x,y,z)=(14,14,8),(7,14,15),(14,7,15),(7,7,22)$ olur. $4$ çözüm vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal