Gönderen Konu: Crux 1975 Problem 26 {çözüldü}  (Okunma sayısı 690 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Crux 1975 Problem 26 {çözüldü}
« : Haziran 10, 2020, 01:34:33 ös »
$n$ tane tam sayı verilsin. Elemanlarının arasına $+$ veya $-$ işaretleri koyarak elde edilen değer $n$ ile tam bölünebilecek şekilde, bu sayıların bir alt kümesinin seçilebileceğini gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 16, 2020, 07:48:27 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Crux 1975 Problem 26
« Yanıtla #1 : Haziran 11, 2020, 04:10:16 öö »
Eğer $\pmod n$ de aynı değere sahip olan iki tamsayı var ise, bu tam sayılara $a$ ve $b$ dersek $a-b$ sayısı $n$ ile tam bölüneceğinden $\{a,b\}$ istenen bir alt kümedir.
Aksi takdirde bu $n$ tam sayının her biri $\pmod n$ de farklı bir değere sahip olur ki bu durumda $n$ ye tam bölünen bir $a$ sayısı bulunmalıdır. Bu durumda $\{a\}$ istenen bir alt küme olur.
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Crux 1975 Problem 26
« Yanıtla #2 : Haziran 11, 2020, 11:14:39 öö »
Bu problem, sayıların arasına yalnızca $+$ işareti koyulması durumunda da sorulabilir.


Ek soru: $n$ tane tam sayı verilsin. Elemanlarının toplamı $n$ ile tam bölünebilecek şekilde, bu sayıların bir alt kümesinin seçilebileceğini gösteriniz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Crux 1975 Problem 26
« Yanıtla #3 : Haziran 16, 2020, 07:48:12 ös »
Ek Soru: $n$ tane tam sayı verilsin. Elemanlarının toplamı $n$ ile tam bölünebilecek şekilde, bu sayıların bir alt kümesinin seçilebileceğini gösteriniz.



Çözüm: $n$ tane tam sayı $a_1, a_2, \dots, a_n$ olsun. $k=1, 2, \dots, n$ için $T_k = a_1+a_2+\cdots + a_k$ toplamlarını tanımlayalım.

Eğer $n \mid T_k$ olacak biçimde bir $k$ değeri varsa $\{ a_1, a_2, \dots, a_k \}$ alt kümesi istenen özelliktedir.

Eğer her bir $k\in \{ 1,2, \dots, n \}$ için $ n \nmid T_k $ oluyorsa $T_1, T_2, \dots , T_n $ sayıları $n$ ile bölümünden $1, 2, \dots , n-1$ kalanlarını verebilir. Güvercin yuvası prensibi gereği $ 1 \leq i < j \leq n$ olacak biçimde öyle iki farklı $i$, $j$ değerleri vardır ki $T_i$ ile $T_j$, $n$ ile bölündüğünde aynı kalanı verirler. Yani $T_j - T_i \equiv 0 \pmod{n}$ olur. Bu durumda 
$$ n \mid T_j - T_i = a_{i+1} + a_{i+2} + \cdots + a_{j}$$
olup $\{ a_{i+1}, a_{i+2}, \dots , a_{j} \}$ kümesi istenen özelliktedir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal