Gönderen Konu: Crux 1975 Problem 14 - Üçgen Eşitsizliği {çözüldü}  (Okunma sayısı 803 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3186
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Crux 1975 Problem 14 - Üçgen Eşitsizliği {çözüldü}
« : Haziran 03, 2020, 05:18:59 ös »
Problem 14: Bir üçgenin üç kenarının uzunlukları $a$, $b$, $c$ ise $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ uzunluklarının da bir üçgen oluşturacağını gösteriniz.
« Son Düzenleme: Haziran 08, 2020, 12:55:24 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 256
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Crux 1975 Problem 14 - Üçgen Eşitsizliği
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2020, 11:13:18 öö »
$$\dfrac{1}{a+b}<\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}$$ olduğunu gösterirsek diğer eşitsizlikler simetriden dolayı doğrudur. Paydaları eşitleyelim.

$\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{a+b+2c}{(a+c)\cdot(b+c)}=\dfrac{a+b+2c}{ab+ac+bc+c^2}$ olur bunu eşitsizlikte yerine koyarsak

$$(a+b+2c)\cdot(a+b)>(a+c)\cdot(b+c)$$ haline gelir.

Parantezleri açıp düzenlersek

$$a^2+ab+ac+bc+b^2>c^2$$ elde edilir.  Üçgen eşitsizliğinden $a+b>c$ olduğunu, dolayısıyla $c\cdot(a+b)=ac+ab>c^2$ olduğunu biliyoruz o halde

$$a^2+ab+ac+bc+b^2>ac+ab>c^2$$ bulunur.
« Son Düzenleme: Haziran 08, 2020, 12:54:50 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal