$(k_2 = 1, N=2.2)$ Kesen Problemi

[geo]

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarının üstündeki $D$ noktası $AB=CD$ ve $\angle ADC = 45^\circ + \angle BAC /4$ şartlarını sağlıyorsa $AB=AC$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Problemde $m(\widehat{BAC})=4x$ denirse $m(\widehat{ADB})=135^\circ - x$ olur. Şimdi $[AC$ üstünden bir $C'$ noktasını $|AB|=|AC'|$ olacak şekilde alalım. Sonra da $[BC']$ üzrinden bir $D'$ noktasını $|AB|=|AC'|=|C'D'|$ olacak şekilde alalım. İkizkenar üçgenlerden $m(\widehat{AD'B})=135^\circ - x$ olur.

$\bullet $ Eğer $C' \in [AC]$ ise $m(\widehat{AD'B})=m(\widehat{ADB}) $ oluşu, $D = D'$ ve $C=C'$ oluşunu gerektirir.

$\bullet $ $C \in [AC']$ ise $m(\widehat{AD'B})=m(\widehat{ADB}) $ oluşu $ABD'D$ dörtgeninin çembersel oluşunu gerektirir. Buna göre, $m(\widehat{ABD'})=90^\circ - 2x$ olduğundan $m(\widehat{ABD})=90^\circ + 2x$ olur. $m(\widehat{DAC})=4x-(90^\circ + 2x)=2x-90^\circ > 0$ dır. $x>45^\circ$ dir. Öte taraftan $m(\widehat{BAC})=4x<180^\circ$ olup $x<45^\circ$ çelişkisi elde edilir. Yani $C=C'$ olmalıdır.

[geo]

$\angle BAC = 4x$ olsun. $\angle ADC = 45^\circ + x$ olacaktır. $\angle ACB = y$ diyelim.

$AB = CD \overset{?}{<>}AC$ sorusuna yanıt arayalım ($<>$ ile yönünü bilmediğimiz bir eşitsizliği ifade edelim.):

$y <> 180^\circ-4x-y \Rightarrow 2x+y<>90^\circ$ ve $180^\circ - (45^\circ + x+ y) <> 45^\circ + x \Rightarrow  90^\circ <> 2x + y$ olduğu için çelişki elde ettik. Bu durumda $2x+y=90^\circ \Rightarrow y = 90^\circ -2x$ ve $AB = AC$ dir.