Gönderen Konu: $2019^8 +1$ sayısının en küçük tek asal böleni {çözüldü}  (Okunma sayısı 893 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Soru (2019 AIME): $2019^8 +1$ sayısının en küçük tek asal böleni kaçtır?
« Son Düzenleme: Nisan 19, 2020, 02:23:48 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı berksel03

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: $2019^8 +1$ sayısının en küçük tek asal böleni
« Yanıtla #1 : Nisan 19, 2020, 12:21:50 öö »
Cevap:$97$
$2019^8+1 \equiv 0 \pmod{p}$ $\Longrightarrow$ $2019$$16$ $\equiv 1 \pmod{p}$
Fermat teoremi gereğince, $16 \mid (p-1)$. En küçük sayıyı aradığımız için önce $17$'ye bakalım.
$2019^8+1 \equiv 0 \pmod{17}$ kabul edelim.
$2019^8+1 \equiv 13^8+1 \equiv 169^4+1 \equiv (-1)^4+1 \equiv 2 \pmod{p}$ olduğundan kabulümüz yanlıştır.
$16 \mid (p-1)$'i sağlayan bir sonraki asal sayı $97$'dir. Şimdi aynı kabulü $97$ için yapıp doğruluğunu görelim.
$2019^8+1 \equiv 18^8+1\equiv 324^4+1 \equiv 33^4+1 \equiv 1084^2+1 \equiv 22^2+1 \equiv 485\equiv 0 \pmod{97}$ olduğundan kabulümüz doğrudur ve yanıt $97$'dir.
« Son Düzenleme: Nisan 19, 2020, 12:32:25 öö Gönderen: berksel03 »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal