Gönderen Konu: obeb kavramı (a,b)=(a+b,a-b) ne zaman sağlanır? {çözüldü}  (Okunma sayısı 786 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
$a,b$ tam sayılarının en büyük ortak böleni $(a,b)$ olmak üzere

$$ (a,b)=(a+b, a-b) $$

olması için $a$ ile $b$ nasıl olmalıdır?
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: obeb kavramı (a,b)=(a+b,a-b) ne zaman sağlanır?
« Yanıtla #1 : Aralık 20, 2019, 03:38:18 ös »
$(a,b)=d$ olsun. $a=dx$, $b=dy$ ve $(x,y)=1$ olacak şekilde $x,y \in \mathbb Z$ vardır.

Biz $(a+b,a-b)=d$ olmasını istiyoruz. $(a+b, a-b)=(d(x+y), d(x-y)) = d(x+y,x-y)$ olduğundan $(x+y,x-y) = 1$ olmasını istiyoruz. Tabii ki böyle bir şey her zaman olmayacaktır. Örneğin $x=3,y=1$ iken $(x+y,x-y)=(4,2)=2$ olmaktadır. Sadece $(x,y)=1$ olduğunu biliyoruz ve $x,y$ tam sayılarını $(x+y,x-y) = 1$ olacak biçimde dikkatlice seçmeliyiz.

Şu durumları inceleyelim:

$\bullet $ $x$ ve $y$ her ikisi de tek sayılar ise $x+y$, $x-y$ çift sayılar olup $(x+y,x-y) \neq 1$ dir.
$\bullet $ $x$ ve $y$ her ikisi de çift sayılar olamazlar, çünkü $(x,y)=1$ demiştik.
$\bullet $ Geriye kalan son durum $x$ ile $y$ den biri çift diğeri tek sayı olmalıdır. Buradaki bağlantıda verilen eşitlikleri de kullanarak

$(x+y,x-y)=(x+y + (x-y), x-y)= (2x, x-y) = (x, x-y)$ yazabiliriz. ($2x$ deki $2$ çarpanını bir sonraki eşitlikte silebiliyoruz, çünkü $x-y$ tek sayıdır ve $2$ çarpanı içermez.) Ayrıca aynı bağlantıdaki eşitliklere göre $(x, x-y)=(x,y)=1$ dir. Böylece $(x+y,x-y)=1$ elde etmiş durumdayız.


Sonuç olarak $(a,b)=(a+b,a-b)$ olması için gerek ve yeter şart $x=\dfrac{a}{(a,b)}$ ve $y=\dfrac{b}{(a,b)}$ sayılarından birinin tek sayı, diğerinin çift sayı olmasıdır.



Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal