Gönderen Konu: İsbo 2019 pr 22 {çözüldü}  (Okunma sayısı 1451 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3192
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
İsbo 2019 pr 22 {çözüldü}
« : Ağustos 27, 2019, 02:55:06 öö »
Soru: $3n^2=m^3+16m$ denkleminin tamsayılarda kaç çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$



Kaynak: İstanbul Bilim Olimpiyatları/Matematik Testi, Soru 22.
« Son Düzenleme: Eylül 11, 2019, 01:54:33 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: İsbo 2019 pr 22
« Yanıtla #1 : Eylül 02, 2019, 11:24:29 ös »
$3n^2=m^3+16m$  ifadesine $3$ modunda bakarsak

$(0,0)$ açık bir çözümdür

$m>0$ olacağı açıktır.  Genelliği bozmadan $n>0$  alabiliriz.

$m\cdot (m^2+16)\equiv 0\pmod 3 $ gelecektir. Bu ise bize hızlıca $m\equiv 0 \pmod 3 $ bilgisini verir.

$m=3k$  dönüşümü yapılır düzenlenirse denklem

$n^2=k\cdot (9k^2+16)$  olur.

$(k,9k^2+16)=(k,16)\in \{ 1,2,4,8,16\}$ olabilir.

$1)$

$(k,9k^2+16)=1$ ise

$9k^2+16$ ile $k$ ayrı ayrı birer tam sayının karesidir.

$k\ge 3$ sayıları için $9k^2<9k^2+16<9k^2+6k+1$ olacağından bir tam sayının karesi olamaz.

$k=2$ değerinin de tam kare olmadığı açıktır.

$k=1$ olmalıdır.  $k=1$ için $m=3$ $n=5$ çözümleri elde edilir.



$2)$  $(k,9k^2+16)=2$ ise $k=2q$ dönüşümü yapılabilir.

$2q\cdot (36q^2+16)=n^2$ olur.  $(q,18q^2+8)=1$ olacağından dolayı $q$ tek bir sayıdır.

$q$ tek bir sayı olduğuna göre $2q\cdot (36q^2+16)$ ifadesi $8 \pmod {16}$  vereceğinden dolayı bir tam sayının karesi olması mümkün değildir.



$3)$ $(k,9k^2+16)=4$ ise $k=4q$ dönüşümü yapılabilir.

$4q\cdot(9\cdot 16q^2+16)$  ifadesi bir tam kare olmalıdır.  düzenlersek $8^2\cdot q\cdot (9q^2+1)$ bir tam kare olmalıdır.  Fakat $q>1$ sayıları için $9q^2<9q^2+1<9q^2+6q+1$ olduğundan dolayı  çözüm yoktur.



$4)$  $(k,9k^2+16)=8$ ise $k=8q$ dönüşümü yapılabilir.  $q$ nun tek sayı olduğu açıktır.  $128 \pmod{256}$ kalanı vereceğinden dolayı bir tam sayının karesi olması mümkün değildir.



$5)$ $(k,9k^2+16)=16$ ise $k=16q$ dönüşümü yapılabilir.

$16q\cdot(9\cdot256q^2+16)$ bir tamkare olmalıdır.  $16^2\cdot q \cdot (144q^2+1)$  bir tam kare olmalıdır. Fakat $q\ge 1$ için $(12q)^2<144q^2+1<(12q+1)^2$ eşitsizliği geçerli olduğundan mümkün değildir. 




Denklemin çözümleri $n>0$ kabul edildiğinde $(3,5)$ bulunmuştu.  O halde $(3,-5)$  te bir çözümdür.  İlk başta vurguladığımız $(0,0)$ çözümünü de dikkate alırsak çözüm kümesi $ \{(3,-5),(0,0),(3,5)\}$ olarak bulunur ve $3$ çözümü vardır.
« Son Düzenleme: Eylül 11, 2019, 01:54:01 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal