USAMO 2014 Pr 1 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $a,b,c,d$ gerçel sayılar ve $b-d \geq 5$ olmak üzere $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ polinomunun tüm $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ kökleri gerçel sayılardır. $$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$$ çarpımının alabileceği en küçük değeri bulunuz. (ABD Matematik Olimpiyatı 2014-Problem 1)

[AtakanCİCEK]

İstenen ifade $S$  olsun.

$S=(x_1^2+1).(x_2^2+1).(x_3^2+1).(x_4^2+1)$

$S=(x_1^2x_2^2+x_1^2+x_2^2+1).(x_3^2x_4^2+x_3^2+x_4^2+1)$

$S=(x_1x_2x_3x_4)^2+(x_1x_2x_3)^2+(x_1x_2x_4)^2+(x_1x_2)^2+(x_1x_3x_4)^2+(x_1x_3)^2+(x_1x_4)^2+x_1^2+(x_2x_3x_4)^2+(x_2x_3)^2+(x_2x_4)^2+x_2^2+(x_3x_4)^2+x_3^2+x_4^2+1$

Şimdi ifadeyi derlemeye başlayalım. 

$x_1+x_2+x_3+x_4=-a$
$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=b$
$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-c$
$x_1x_2x_3x_4=d$

$x$li ifadelerin dörderli çarpımların karesi $D$ üçerli çarpımlarının karesi toplamı $C$ , İkili çarpımların karesi toplamı $B$, kareleri toplamı $A$  olsun. 

$S=A+B+C+D+1$ olur.

$D=(x_1x_2x_3x_4)^2=d^2$

$c^2=C+2.x_1x_2x_3x_4(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)=C+2db$

$b^2=B+2.(x_1+x_2+x_3).(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)=B+2.(-a).(-c)$ 

$a^2=A+2b$  oldukları görülür.

$S=A+B+C+D+1=1+a^2-2b+b^2-2ac+c^2-2db+d^2=(a-c)^2+(b-d-1)^2$

$a$  ile $c$ arasında bilgi verilmediğinden dolayı $(a-c)^2\ge 0$ alınabilir.

Soruda verilen eşitsizliği de kullanırsak $(a-c)^2+(b-d-1)^2\ge 16$ elde edilir. 

Kökler farklı olduğu belirtilmediği için $x_1=x_2=x_3=x_4=1$ için sağlar.

Eğer  kökleri farklı ise bu denklemi sağlayan durumlardan biri elle bulunacak gibi değil  Belki bir ispat yapılabilir bilemiyorum Wolfram Alphanın bulduğu çözüm

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3C0+or+x%3E0%2C+a%3E0%2C+b%3E0%2C++x%5E4%2Bax%5E3%2B%28b%2B5%29x%5E2%2Bax%2Bb%3D0

[Lokman Gökçe]

Çözüm için teşekkürler Atakan. Birkaç küçük ekleme yapalım.

Eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğü $S=16$ durumunun sağlandığı bir örnek durum da bulursanız çözüm tamamlanmış olur. Aksi halde çözüm eksik kalır. (Neden acaba?)

$a-c \geq 0 $ kabulüne de ihtiyaç yoktur. Daima $(a-c)^2\geq 0$ oluşu işimizi görecektir.

[AtakanCİCEK]

Çözüm için teşekkürler Atakan. Birkaç küçük ekleme yapalım.

Eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğü $S=16$ durumunun sağlandığı bir örnek durum da bulursanız çözüm tamamlanmış olur. Aksi halde çözüm eksik kalır. (Neden acaba?)

$a-c \geq 0 $ kabulüne de ihtiyaç yoktur. Daima $(a-c)^2\geq 0$ oluşu işimizi görecektir.

haklısınız hocam parantezi koymayı unutmuşum  örnek te bulayım.  Reel sayılar kümesinde minimum istendiği için eksik kalıyor.  En az bir tane reel denklem gerekiyor.

[Squidward]

$S=(x_1^2x_2^2+x_1^2+x_2^2+1).(x_3^2x_4^2+x_3^2+x_4^2+1)$

dedikten sonra ilk çarpana $2x_1x_2$ ikinci çarpana $2x_3x_4$ ekleyip çıkartırsak,

$S=(x_1^2x_2^2 - 2x_1x_2 + 1 + x_1^2 +2x_1x_2 +x_2^2)(x_3^2x_4^2 - 2x_3x_4 + 1 + x_3^2 +2x_3x_4 +x_4^2)$

$S = ((x_1x_2 - 1)^2 + (x_1 + x_2)^2)((x_3x_4 - 1)^2 + (x_3 + x_4)^2)$

Bu aşamada $x_1x_2 - 1$, $x_1 + x_2$ ve $1 - x_3x_4$, $x_3 + x_4$ çiftleri için C-S eşitsizliği yazarsak, ($x_3x_4 - 1$ değil, $1 - x_3x_4$ yazıldığına dikkat, $(x_3x_4 - 1)^2 = (1- x_3x_4)^2$ olduğundan böyle bir şey yapabiliriz ve nedeni az sonra daha açık olacaktır.)

$S \ge ((x_1x_2 - 1)(1 - x_3x_4) + (x_1+x_2)(x_3 + x_4))^2$ eşitsizliğin sağ tarafı açılırsa,

$S \ge (x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 - x_1x_2x_3x_4 - 1)^2$ elde edilir, yukarıda Atakan'ın gösterdiği yerine koymaları yaparsak,

$S \ge (b - d - 1)^2$

Soruda verilen $(b-d) \ge 5$'i kullanırsak,

$S \ge (b-d-1)^2 \ge 4^2 = 16$ olur.


$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1$ eşitlik durumunu sağlar.

[Lokman Gökçe]

3. Çözüm: $S=(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$ diyelim. $i^2=-1$ olmak üzere her $x$ gerçel sayısı için $x^2+1=(x-i)(x+i)$ biçiminde yazılabildiğinden
$$ S=(x_1-i)(x_2-i)(x_3-i)(x_4-i)(x_1+i)(x_2+i)(x_3+i)(x_4+i)$$
olup $$ S=P(-i)P(i)$$ elde edilir.
$$ \begin{array}{lcr}  P(-i) & = & (d-b+1) +i(a-c) \\ P(i) & = & (d-b+1) -i(a-c)  \end{array} $$
eşlenik ifadelerinin çarpımından
$$ S=(a-c)^2+(d-b+1)^2 = (a-c)^2+(b-d-1)^2 $$ olur.
Bu aşamadan sonra $(a-c)^2 \geq 0$ ve $b-d \geq 5$ eşitsizliklerini kullanarak $S \geq 16$ elde ederiz. Ayrıca $S_{\min}=16$ olmasını sağlayan bir $P$ polinomu örneği $P(x)=(x-1)^4=x^4 -4x^3+6x^2-4x+1$ dir. Kökleri $x_1=x_2=x_3=x_4=1$ dir.



Kaynak: Evan Chen'in olimpiyat bloğundaki olimpiyatta çözüm yazma üzerine olan buradaki çalışması.