$ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, $A$ dan inen yükseklik ayağı $D$ olsun. $QF$ ve $PE$ doğrularının kesişim noktasını da $L$ ile gösterelim. $AFQ$ ve $AFP$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $BC$ doğrusuna teğet olarak verildiğinden, çemberde kuvvet teoremi gereği $$ |BQ|^2=|BP|^2 = |BF|\cdot |BA| \tag{1}$$ olur. Şimdi $AFHE$ ile $CDHE$ nin birer kirişler dörtgeni oluşundan ve çemberde kuvvet teoreminden dolayı $$ |BF|\cdot |BA| = |BH|\cdot |BE| = |BD|\cdot |BC| \tag{2} $$ elde ederiz.
$(1)$ ve $(2)$ den $ |BP|^2= |BH|\cdot |BE|$ olup $BHP \sim BPE $ benzerliği elde edilir. Böylece $$m(\widehat{BHP})=m(\widehat{BPE}) \tag{3} $$ bulunur.
Buraya kadar problemin çözümünde kayda değer bir ilerleme sağlamış olduk. Şimdiki amacımız $PQFH$ dörtgeninin bir kirişler dörtgeni olduğunu ispat etmek olacaktır. Bunun için $$ |CH|\cdot |CF|= |CP|\cdot |CQ| \tag{4} $$ olduğunu göstermemiz yeterli olur. Bu eşitliği ispat edelim.
$BDHF$ kirişler dörtgeni olduğundan $$ |CH|\cdot |CF|= |CD|\cdot |CB| \tag{5} $$ olur. Ayrıca $(1)$, $(2)$ eşitliklerini de göz önüne alarak
$\ \ \ \ |CD|\cdot |CB|= (|BC|-|BD|)\cdot |BC| = |BC|^2 - |BD|\cdot |BC| = |BC|^2 - |BP|^2 \\ = (|BC|-|BP|)(|BC|+|BP|) = |CP|\cdot |CQ|$
elde edilir. Böylece $(4)$ ispatlanmış olur. $PQFH$ kirişler dörtgeni olduğundan $$ m(\widehat{FQP}) = m(\widehat{PHC}) \tag {6}$$ olur.
$m(\widehat{BHP}) + m(\widehat{PHC}) $ toplamı $m(\widehat{BAC}) $ ile bütünler, $m(\widehat{BPE}) + m(\widehat{FQP}) $ toplamı $m(\widehat{QLP}) $ ile bütünlerdir. $(3)$ ve $(6)$ açı eşitlikleri göz önüne alınırsa, $m(\widehat{BHP}) + m(\widehat{PHC}) = m(\widehat{BPE}) + m(\widehat{FQP}) $ olur. Buna göre $$m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{QLP}) \tag{7} $$ olur. Bu son eşitlik $A, F, H, E, L $ noktalarının çembersel olduğunu gösterir.
Notlar:1. Bu tür soruların çözümünde her bir adım incelenerek ilerlenmesinde büyük fayda vardır. Örneğin $(5)$ eşitliğinin ispatında $\cos B$ türünden uzunluk eşitlikleri yazmak oldukça kısa sonuç verecektir. $|BD|= |AB|\cos B$, $|BF|=|BC|\cos B$ v.b. eşitliklerle $(5)$'i ispatlamayı deneyiniz.
2. $(1)$, $(2)$ eşitlikleri $B$ merkezli ve $r=|BP|$ yarıçaplı çembere göre evirtim (inversiyon) kullanımını kuvvetli biçimde çağrıştırmaktadır. Bu türlü bir çözüm yöntemini denemek, ilgilenenlere iyi bir antrenman olacaktır.
