Sayılar teorisi sorusu

[Alimmm78]

$155^a + 2 = 157^b$ olmak üzere $a$ ve $b$ doğal sayı ise kaç tane $(a,b)$ ikilisi vardır?

[NazifYILMAZ]

Cevap  1  mi 

[Arman]

$a=0$ için çözüm gelmez

$a=1$ için $(a,b)=(1,1)$ çözümü gelir.

Şimdi $a\ge2$ kabul edelim,

$7^b\equiv2 (\bmod 25)   \Longrightarrow   2^{5b}\equiv2 (\bmod 25)$

$2^{5b-1}\equiv1 (\bmod 25)\Longrightarrow20|5b-1$ olması gerektiğinden, buradan çözüm gelmez.

Tek çözüm $(a,b)=(1,1)$

[NazifYILMAZ]

20 | 5b-1  olması  neden?

[Arman]

20 | 5b-1  olması  neden?

$2^{10}\equiv-1($mod$25)$ olduğundan $20$, $2$'nin mod$25$'te mertebesidir