Bölme Bölünebilme

[MATSEVER 27]

Kaç farklı $p$ asal sayısı için $p \mid (n+2)^2+2$ ve $p \mid (n+3)^3+3$ koşullarını sağlayan $n$ tamsayıları bulunabilir?

$\textbf{a)}$ $0$  $\qquad$ $\textbf{b)}$ $1$  $\qquad$ $\textbf{c)}$ $2$  $\qquad$ $\textbf{d)}$ $3$  $\qquad$ $\textbf{e)}$ $4$ 

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{4}$

Eğer $p$ , $p \mid (n+2)^2+2$ ve $p \mid (n+3)^3+3 $ koşullarını birden sağlıyorsa, $p\mid ((n+2)^2+2,(n+3)^3+3)$ koşulunu sağlamalıdır.

Öklid Algoritması uygulayalım, $$\Rightarrow (n^2+4n+6,n^3+3n^2+3n+30)$$

$$ \Rightarrow (n^3+3n^2+3n+30,n^2+3n-30) \Rightarrow (n^2+3n-30,33n+30) = (33n+30,69n-990)$$

$n$ yi yok etmek için katsayıları eşitleyip çıkaralım.

$(69n-990,11580)$ bulunur. $11580=2^2×3×5×193$ olduğu için, koşulları sağlayan en fazla $4$ asal vardır bunlar ,$2,3,5,193$ tür.$\blacksquare$