Tamkare

[MATSEVER 27]

$\dbinom{p}{n}+(p-1)!+pn^2$ bir tamkare olacak şekilde $n$ tamsayısı bulunuyorsa $p$ sayısı $7,19,23,31$ değerlerinden kaçını alabilir?

[Metin Can Aydemir]

$i)$ $n\neq 0,p$ için $\dbinom{p}{n} \equiv 0 (mod~p)$ olur. $$t^2=\dbinom{p}{n} +(p-1)!+pn^2\equiv -1 (mod~p)\Rightarrow p=4k+1$$ olur. Fakat verilen asalların hiçbiri bu formda değildir.Çözüm yok.

$ii)$ $n=0$ ise $ (p-1)!+1=t^2$ olur. Verilen asallar için $(p-1)!+1\equiv 0(mod~p)$ fakat $(p-1)!+1\not\equiv 0(mod~p^2)$ dir.*
$iii)$ $n=p$ ise $p^3+(p-1)!+1=t^2$ olur. Verilen asallar için $p^3+(p-1)!+1\equiv 0(mod~p)$ fakat $p^3+(p-1)!+1\not\equiv 0(mod~p^2)$ dir.*
Dolayısıyla verilen asallardan hiçbiri için sağlayan n yoktur.

* $(p-1)!+1\not\equiv 0(mod~p^2)$ bu ifadenin doğruluğunu kendim değil wolfram alphadan buldum.