Gönderen Konu: Sayılar Teorisi Soru $29$  (Okunma sayısı 1401 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Sayılar Teorisi Soru $29$
« : Aralık 09, 2015, 07:57:21 ös »
Herhangi $2$ bölenin toplamı tamkare olan tüm tamsayıları bulunuz.
(Mehmet Berke İşler)
« Son Düzenleme: Ocak 28, 2016, 08:56:42 ös Gönderen: MATSEVER 27 »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 491
  • Karma: +7/-0
Ynt: Sayılar Teorisi Soru $29$
« Yanıtla #1 : Temmuz 26, 2021, 01:24:52 ös »
Tahminimce $2$ farklı bölen demek isteniyor çünkü aksi takdirde soru çok basit kalıyor çünkü eğer her $n$ için $1\mid n$ olduğundan $1+1=2$ tamkare olmadığından istenilen sağlanılmaz. Farklı demek istediğini kabul edelim ve bu sayıya $n$ diyelim.

$n=1$ sayısının $2$ farklı böleni olmadığından sağladığını kabul edebiliriz (kabul etmemeliyiz de diyebilirsiniz). $n$, $1$'den farklı bir sayı ise $p\mid n$ olacak şekilde bir $p$ asal sayısı vardır. Ayrıca $1\mid n$ olduğundan $1+p$ tamkaredir. $x$, pozitif bir tamsayı olmak üzere, $$1+p=x^2\Longrightarrow p=(x-1)(x+1)\Longrightarrow x-1=1\Longrightarrow p=3$$ bulunur. Dolayısıyla $n$'nin tek asal böleni $3$ olabilir. Yani $n=3^k$ formatındadır. Eğer $k\geq 2$ ise $9\mid n$ olacağından $3+9=12$ tamkare olmalıdır fakat değildir. Dolayısıyla, bu durumdan sadece $n=3$ sayısı gelir.

Sonuç olarak $n=3$ ve $n=1$ sayıları istenilen sayılardır.

Güncelleme: Soruyu çözerken her şeyi pozitif olarak almışım fakat soruda pozitiflikten bahsetmiyor. $n$ sağlıyorsa $-n$ de sağlayacağı için $n=3,-3,1,-1$ durumlarına bakılmalıdır. $1+(-3)=-2$ tamkare olmadığından $3$ ve $-3$ de sağlamaz cevap sadece $1$ ve $-1$ olur. Fakat bence soruyu yazan arkadaş pozitif olarak düşünmüştür.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal