1996 Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları

[ArtOfMathSolving]

$9$. $x<y<z$ asal sayıları $$x+y+z=68$$
$$x.y+y.z+z.x=1121$$ denklem sisteminin çözümü ise $y.z$ çarpımı aşağıdakilerden hangisidir ?

$
\textbf{A)}\ 893
\qquad{B)}\ 919
\qquad{C)}\ 957
\qquad{D)}\ 989
\qquad{E)}\ 1003
$

[ArtOfMathSolving]

 Soru:$9$

Yanıt:$\boxed{D}$

$x,y,z$ asal sayılarının toplamları çift ise $x=2$ diyebiliriz. İkinci denklemin her iki tarafını $2$ ile çarpalım, birinci eşitliğin her iki tarafının karesini alalım ve taraf tarafa çıkaralım.
$y^2+z^2=2378$ elde edilir. 1. Eşitliği düzenleyip bu eşitlikte yerine yazarsak
$y+z=66$
$(y+z)^2-2yz=2378$
$66^2-2yz=2378$
$y.z=989$ Elde edilir.


                 (Çözümün kısa yolu internette vardır. İyi çalışmalar.)           
                 (ArtOfMathSolving)

[ArtOfMathSolving]

$1$. $11^{100}-1$ Sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır ?

$
\textbf{A)}\ 1
\qquad{B)}\ 2
\qquad{C)}\ 3
\qquad{D)}\ 4
\qquad{E)}\ 5
$

[ArtOfMathSolving]

$2$. $S=1\cdot (1!)+2\cdot (2!)+3\cdot (3!)+...+10\cdot (10!)$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

$
\textbf{A)}\ {11!-1}
\qquad{B)}\ {11!+9}
\qquad{C)}\ {12!-1}
\qquad{D)}\ {12!+9}
\qquad{E)}\ {10\cdot 11!-1}
$

[ArtOfMathSolving]

$3$. bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı, tüm öğrenci sayısının $\% 50$'sinden az, $\% 40$'ından fazladır.Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır ?

$
\qquad{A)}\ 4
\qquad{B)}\ 5
\qquad{C)}\ 6
\qquad{D)}\ 7
\qquad{E)}\ 13
$

[ArtOfMathSolving]

$4$. $\left|x\right|+\left|y\right|<20$ eşitsizliğinin tamsayı çözümleri kaçtır ?

$
\qquad{A)}\ 400
\qquad{B)}\ 600
\qquad{C)}\ 661
\qquad{D)}\ 761
\qquad{E)}\ 790
$

[ArtOfMathSolving]

$5$. Dört sayının ikişer-ikişer toplanmasıyla elde edilen altı sayı, küçükten büyüğe doğru dizilince dizilişin ilk dört terimi $1,5,8,9$ olduğuna göre, son terim nedir ?

$
\qquad{A)}\ 13
\qquad{B)}\ 14
\qquad{C)}\ 15
\qquad{D)}\ 16
\qquad{E)}\ 17
$

[ArtOfMathSolving]

$6$. Ayşe,Bilge,Canan ve Deniz adlı dört kız bir konser verdiler. Konserde her şarkıyı 3 kız birlikte okudular. En çok şarkıyı Ayşe okudu: $8$ şarkı. En az şarkıyı Bilge okudu: $5$ şarkı. Konserde toplam kaç şarkı okunmuştur ?

$
\qquad{A)}\ 9
\qquad{B)}\ 10
\qquad{C)}\ 11
\qquad{D)}\ 12
\qquad{E)}\ 13
$

[ArtOfMathSolving]

$7$.$1996$ sayısı iki pozitif tamsayının toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabilir ? (Not:$a+b$ ve $b+a$ yazılışlarını farklı kabul ediyoruz.)

$
\qquad{A)}\ {\dfrac{1996}{2}}
\qquad{B)}\ 1995
\qquad{C)}\ 1996
\qquad{D)}\ {2 \cdot 1995}
\qquad{E)}\ {1995\cdot 1996}
$

[ArtOfMathSolving]

$8$. $(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_99)(x-x_100)$ ifadesinde parantezler açılarak;

        $x^{100}+a_{1}x^{99}+a_{2}x^{98}+\dots+a_{99}x+a_100$

Polinomu elde ediliyor. $a_1$'in katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 5005
\qquad{b)}\ -4004
\qquad{c)}\ -4545
\qquad{d)}\ -5500
\qquad{e)}\ -5050
$

[ArtOfMathSolving]

$10$. Matematik olimpiyatlarınde $20$ soru sorulmuştur. Değerlendirmede, her doğru çözülmüş soru için $8$ puan veriliyor, her yanlış çözülmüş soru için $5$ puan geri alınıyor ve hiç çözülmemiş soru için de $0$ puan veriliyor. Olimpiyata katılan bir öğrenci $13$ puan almışsa kaç tane problemi (doğru veya yanlış) çözmüştür ?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad{b)}\ 9
\qquad{c)}\ 12
\qquad{d)}\ 13
\qquad{e)}\ 15
$