20. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı Soruları

[ERhan ERdoğan]

...

[ERhan ERdoğan]

6.

$T = a^3+b^3+c^3+d^3 = a^3+\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}+d^3$

$T_{1} =  a^3+\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}$  ve  $T_{2} =\dfrac{b^3}{2}+\dfrac{c^3}{2}+d^3$ diyelim.

AGO eşitsizliğinden,

$T_{1} \geq \dfrac{3abc}{\sqrt[3]{4}}$  ve  $T_{2} \geq \dfrac{3bcd}{\sqrt[3]{4}}$ dir.

$T = T_{1}+T_{2} \geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}(abc+bcd)$

$S = \dfrac{abc+bcd}{a^3+b^3+c^3+d^3} \leq \dfrac{\sqrt[3]{4}}{3}$  bulunur.

[Eray]

5.

Sayılar $\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}}$ formundadır.


A.G.O eşitsizliğinden,

$\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}} \ge 2\sqrt{\sqrt{\dfrac{108}{12}}}=2\sqrt{3}$

Yani sayılardan en küçüğü $2\sqrt3$ tür.

Eşitlik durumu $\Longrightarrow \dfrac{x}{12}=\dfrac{108}{x} \Longrightarrow x=36$ için sağlanır, ve bu da sayılarımıza dahildir. Dolayısıyla cevap $2\sqrt3$ tür.

[onokumus]

5.

Sayılar $\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}}$ formundadır.


A.G.O eşitsizliğinden,

$\sqrt{\dfrac{x}{12}}+\sqrt{\dfrac{108}{x}} \ge 2\sqrt{\sqrt{\dfrac{108}{12}}}=2\sqrt{6}$

Yani sayılardan en küçüğü $2\sqrt6$ dır.

Eşitlik durumu $\Longrightarrow \dfrac{x}{12}=\dfrac{108}{x} \Longrightarrow x=36$ için sağlanır, ve bu da sayılarımıza dahildir. Dolayısıyla cevap $2\sqrt6$ dır.

Sanırım işlem hatası yapmışsınız. Cevap: $2\sqrt3$ olacak.

[mehmetutku]

17.

Açıortay teoreminden $|AP|=3x$  ise  $|AB|=2x+2$  olur.   $AO$  nun çemberi kestiği nokta $K$  olsun.  $\angle PAO=\alpha$ dersek kirişler dörtgeninden $\angle CBK=\alpha$ olur. Çapı gördüğü için $\angle ABK=90^\circ$  dir.  Dolayısıyla $\angle ABD=\angle APO$  olur.  Bu da $\triangle ABD \cong \triangle APD$   demektir.   O zaman $|AB|=|AP|$  olur.  $2x+2=3x$  ve  $x=2$  den  $|AP|=6$   bulunur.

[mehmetutku]

21.

$\angle BAH=15^\circ$  ve  $\angle HAE=35^\circ$  dir.  $ABDC$  kirişler dörtgeni olduğu için  $\angle ABC=\angle ADC=75^\circ$  olur.  $HDCE$  kirişler dörtgeni olduğundan $\angle HDC=\angle HEA=75^\circ$  olur. $\triangle HEA$  da $\angle AHE=180-35-75=70^\circ$  bulunur.

[mehmetutku]

1.

Sorudaki ilk denklemi düzenlersek $x^{x+y}=y^{x-y}$  bulunur.  İkinci eşitlik yerine yazılırsa  $x^{x+\tfrac{1}{x^2}}=(\dfrac{1}{x^2})^{x-\tfrac{1}{x^2}}$   bulunur.  Düzenlersek  $x^{3x-\tfrac{1}{x^2}}=1$   olur. Burada iki durum vardır. $x=1$ için $y=1$  çözümü gelir. $3x-\tfrac{1}{x^2}=0$  için $x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}$    ve  $y=\sqrt[3]{9}$  çözümü  gelir.  Yani toplam $2$  çözüm vardır.

[mehmetutku]

7.

$n=1$  için $a_1=2$

$n=2$  için $a_2=\dfrac{6}{5}$

İddaamız $a_n=1+\dfrac{1}{5^{n-1}}$   olduğudur..  Bunu tümevarım ile gösterelim. $n=1$  için doğrudur. $n$  için doğru olsun.
O zaman $5a_{n+1}=1+\dfrac{1}{5^{n-1}}+4$    ve  $a_{n+1}=1+\dfrac{1}{5^n}$  dir.  Yani  iddaamız doğruymuş.

Soruda tanımladığı  $A_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n= 1+\dfrac{1}{5^0}+1+\dfrac{1}{5^1}+\cdots+1+\dfrac{1}{5^{n-1}}=n+1+\dfrac{1-\dfrac{1}{5^n}}{1-\dfrac{1}{5}}=n+1+\dfrac{5^n-1}{4\cdot5^{n-1}}$   olur.

$A_n-n-\dfrac{5}{4}=n+1+\dfrac{5^n-1}{4\cdot5^{n-1}}-n-\dfrac{5}{4}=\dfrac{5^n-1}{4\cdot5^{n-1}}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4\cdot5^{n-1}}$    olur.

Mutlak değerden çıkarırsak $\dfrac{1}{4\cdot5^{n-1}} \lt \dfrac{1}{2500}$  eşitsizliğini sadeleştirirsek $5^{4} \lt 5^{n-1}$   ve  $5\lt n$  bulunur.  Dolayısıyla  $n$  nin alabileceği en küçük değer  $6$  dır.

[mehmetutku]

2.

Terimler $\dbinom {1515}{a}\cdot3^{\tfrac{1515-a}{3}}\cdot5^{\tfrac{a}{5}}$   formundadır. Terimlerin rasyonel olması için  $3$  ve  $5$  in $a$  yı bölmesi gerekmektedir.  $0$  dan  $1515$  e kadar $15$  e bölünen  $102$  sayı vardır.

[mehmetutku]

3.

$(a+b+c+d)^n$  deki terim sayısı dağılım formülünden  $\dbinom {n+4-1}{4-1}=\dbinom {n+3}{3}$  şeklindedir.  Ayrıca $\dbinom {n}{a}=\dbinom{n+1}{a+1}-\dbinom {n}{a+1}$ 

olduğunu biliyoruz.  O zaman  $f(2n)-f(2n-1)=\dbinom {2n+3}{3}-\dbinom {2n+2}{3}=\dbinom{2n+2}{2}$   dir. Bizden istenen ifade

$\dbinom {4}{2}\cdot \dbinom{6}{2}\cdots \dbinom{102}{2}=\dfrac{102\cdot101\cdots 4\cdot3}{2^{50}}=\dfrac{102\cdot101\cdots 4\cdot3\cdot2}{2^{51}}=\dfrac{102!}{2^{51}}$  dir.  $102!$  in içinde $98$  tane $2$  çarpanı vardır.  Dolayısıyla

cevap $98-51=47$   olarak bulunur.

[mehmetutku]

19.

$a \triangle (b \triangle b)=a \triangle 0=a \triangle b +b$  tür.

$a \triangle (a \triangle a)= a \triangle 0 = a \triangle a + a=a$  dır.

İki denklemi birleştirirsek  $a \triangle b =a-b$  çıkar.  Cevap $(31 \triangle 13) \triangle 7=18 \triangle 7=11$  olarak bulunur.

[mehmetutku]

8.

Dikdörtgeni $6\times 8$ lik dikdörtgene ve sağda bir sütun ve aşağıda bir satır olacak şekilde ayıralım. $6\times 8$  lik dikdörtgeni nasıl doldurursak dolduralım sağdaki sütun ve aşağıdaki satırın dizilimi tek şekilde olur. Mesela $6\times 8$  lik dikdörtgenin ilk satırı $7,9,7,9,9,9,9,7$  olsun. Sağda kalan sütunun o satırla kesiştiği karedeki sayı $7$ olmak zorundadır. Yani cevap  $2^{48}$  olur. Bu sayının da pozitif bölenlerinin sayısı $49$  dur.

[Eray]

24.

Her $x$ için $x^2+ax+10b\ge0$ olması, denklemin diskriminantının $0$ dan küçük eşit olduğunu gösterir.
$\Longrightarrow 0\ge a^2-40b \Longrightarrow b\ge\dfrac{a^2}{40}$

$\Longrightarrow \dfrac{b+11}{a-1} \ge \dfrac{\dfrac{a^2}{40}+11}{a-1} = \dfrac{a^2+440}{40(a-1)} = \dfrac{1}{40}\cdot \dfrac{a^2+440}{a-1} = \dfrac{1}{40} \left(a-1 + \dfrac{441}{a-1}+2\right)$

Soruda $a>1$ verildiğinden A.G.O Eşitsizliği gereği, $a-1 + \dfrac{441}{a-1} \ge 42$ dir.

O halde $\dfrac{b+11}{a-1} \ge \dfrac{1}{40} \left(a-1 + \dfrac{441}{a-1}+2\right) \ge \dfrac{1}{40}(42+2) = \dfrac{11}{10}$ bulunur.

Eşitlik durumu $a-1 = \dfrac{441}{a-1} \Longrightarrow a=21, b=\dfrac{a^2}{40}=\dfrac{441}{40}$ iken sağlanır.

[mehmetutku]

18.

$n$  metrelik kuyudan kaymadan çıkma sayısı $a_n$  olsun. Eğer $n-1$ metreye çıkarsa geri kalan metreyi tek şekilde çıkar. Yani $a_{n-1}$  durum.  Ve eğer $n-2$ metreye çıkarsa geri kalan iki metreyi de 2 zıplayarak tek şekilde çıkar. Çünkü 1 metre 1 metre zıplaması bir önceki durum oluyor. Yani $a_{n-2}$  durum.  Buradan $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$  elde edilir.

$a_1=1 \ , \ a_2=2 \ , \ a_3=3 \ , \ a_4=5 \ , \ a_5=8 \ , \ a_6=13 \ , \ a_7=21 \ , \ a_8=34 \ , \ a_9=55 \ , \ a_{10}=89$

Şimdi kurbağanın kayma durumlarını sayalım. Eğer birinci metreden sonra kayarsa $a_1 \cdot a_{10}$

İkinci metreden sonra kayarsa  $a_2 \cdot a_9$

Üçüncü metreden sonra kayarsa  $a_3 \cdot a_8$

Yani cevabımız $a_1 \cdot a_{10}+a_2 \cdot a_9+a_3 \cdot a_8+a_4 \cdot a_7+a_5 \cdot a_6+a_6 \cdot a_5+a_7 \cdot a_4+a_8 \cdot a_2+a_9 \cdot a_1+a_{10} \cdot a_1=1020$   bulunur.

[mehmetutku]

20.

$f(1-k)$  yı düzenleyerek yazalım.

$f(1-k)=(1-k)^2\cdot (1-k)^4+(1-k^2)\cdot (1-k)^4+(2k+1)\cdot (1-k)^4+(3k+1)\cdot(1-k)^3+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$

$f(1-k)=(1-2k+k^2+1-k^2+2k+1)\cdot (1-k)^4+(3k+1)\cdot(1-k)^3+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$

$f(1-k)=3\cdot(1-k)^4+(3k+1)\cdot(1-k)^3+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$

Yine düzenleyelim.

$f(1-k)=3\cdot(1-k)^2\cdot(1-k)^2+(3k+1)\cdot(1-k)\cdot(1-k)^2+(4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$

$f(1-k)=(3-6k+3k^2+3k-3k^2+1-k+4k+1)\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$

$f(1-k)=5\cdot(1-k)^2+(5k+1)\cdot (1-k)+6k+14$

$f(1-k)=5-10k+5k^2+5k-k^2+1-k+6k+14$

$f(1-k)=20$

Yani $44-2k=20$  den  $k=2$  dir. O zaman

$f(x)=x^6+3x^5+5x^4+7x^3+9x^2+11x+26$

$f(1)=62$  bulunur.