7 ile Bölünebilme

[Alimmm78]

Altı basamaklı sayılardan hangi iki basamağının yerini değiştirirsek değiştirelim oluşan sayı daima 7 ile bölünebiliyorsa bu altı basamaklı sayılar kaç tanedir?

[Arman]

Sayımız $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$ olsun.  $7$ ile bölünebilme kuralını yazalım.

$\Longrightarrow 2(a_4-a_1)+3(a_5-a_2)+1(a_6-a_3) \equiv  0 (mod 7) $

$\Longrightarrow (a_4-a_1),(a_5-a_2),(a_6-a_3) \equiv 0 (mod 7) $olmalıdır aksi durumda

$\Longrightarrow$ $x\neq0,7 $ olmak üzere$(a_6-a_3) \equiv x (mod 7)$ ise $(a_3-a_6) \equiv -x (mod 7)$ olur

$\Longrightarrow $$a_1a_2a_3a_4a_5a_6$ sayısı $7$ ile bölünüyorsa  $a_1a_2a_6a_4a_5a_3$ sayısı $7$ ile bölünmez

$\Longrightarrow$ Bu durumda herhangi iki basamağın farkı $0$ veya $7$ olmalıdır

$\Longrightarrow  a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\in\{0,7\} $ olursa $1.2.2.2.2.2=32$ sayı

$\Longrightarrow  a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\in\{1,8\} $ olursa $2.2.2.2.2.2=64$ sayı

$\Longrightarrow  a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\in\{2,9\} $ olursa $2.2.2.2.2.2=64$ sayı olur

$\Longrightarrow$ Buradan cevap $32+64+64=160$ olur.

[alpha]

Ayrıca 333.333 , 444.444 , 555.555 , 666.666 durumları unutulmamalıdır.