Diklik merkezi

[mehmetutku]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ noktası olmak üzere;  $B$ köşesinden ve $O$ noktasından geçen bir çember, üçgenin $[BC]$ ve $[BA]$ kenarlarını  $B$ den farklı $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor. $POQ$ üçgeninin diklik merkezinin $AC$  doğrusu üzerinde olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$[AC]$ üzerindeki öyle bir $D$ noktası için $ADOP$ , $BPOQ$ ve $CQOD$ dörtgenleri birer kirişler dörtgenidir (miquel teoremi). Bu dörtgenlerden ve $O$ nun çevrel çember merkezi olmasından kaynaklanan açı eşitlikleri ile $\angle{PDO}=\angle{PQO}$ , $\angle{DPO}=\angle{DQO}$ , $\angle{QDO}=\angle{QPO}$ olduğunu görebiliriz. Bu $PQD$ üçgeninde $O$ noktasının diklik merkezi olduğunu gösterir. Bir üçgenin diklik merkezi ile iki köşesinin oluşturduğu üçgenin diklik merkezi, üçüncü köşesi olur. Buna göre $POQ$ üçgeninin diklik merkezi $D$ dir.