iç ve dış merkezlerden --> kirişler dörtgeni

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarının orta noktası $D$ ; $ABD$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $A_{1}$, $AB$'ye teğet olan dış teğet çemberinin merkezi $A_{2}$ olsun. Benzer şekilde  $CBD$ üçgeni için $C_{1}$ ve $C_{2}$ noktalarını tanımlayalım. $A_{1}A_{2}C_{2}C_{1}$ 'in kirişler dörtgeni olduğunu gösteriniz. 

[mehmetutku]

Bir üçgende bir köşe, üçgenin iç merkezi ve o köşeye bakan dış merkez doğrudaştır. Kolayca ispatlanabilir. $\angle BAA_1=\angle A_1AD=\alpha$ olsun. Bu arada $A_2BA_1A$ nın kirişler dörtgeni olduğu barizdir. O zaman $\angle BA_2D=\alpha$ dır. $\angle ADA_1=\angle A_2DB=\beta$ dır. O zaman $\triangle A_2BD$ ile $\triangle AA_1D$ benzerdir. Benzerliği yazalım.

$\Longrightarrow \dfrac{A_2D}{AD}=\dfrac{BD}{A_1D} \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow AD\cdot BD=A_2D\cdot A_1D$

Aynı işlemler $\triangle BDC$ de yapılırsa $\triangle C_2BD$ ile $\triangle CC_{1}D$ nin de benzer olduğu görülür. Benzerliği yazalım.

$\Longrightarrow \dfrac{C_2D}{CD}=\dfrac{BD}{C_1D} \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow CD\cdot BD=C_2D\cdot C_1D$

$AD=CD$  olduğunu soru vermiş. Öyleyse;

$\Longrightarrow A_2D\cdot A_1D=C_2D\cdot C_1D \ \ \ \ \ \Rightarrow  A_{1}A_{2}C_{2}C_{1}$  kirişler dörtgenidir. İspat biter.