Asal sayı sorusu 2

[Lokman Gökçe]

Problem: $2p + 7$ ve $4p+7$ sayılarının ikisinin de asal olmasını sağlayan kaç $p$ asalı vardır? (L. Gökçe)
$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 4\text{ den fazla}
$

Problem, buradaki sorunun çok daha kolay bir versiyonudur.

[ERhan ERdoğan]

$p=2$için $2p+7=11$ ve $4p+7=15$

$p=3$ için $2p+7=13$ ve $4p+7=19$

$p>3$ için $p=6k \pm 1$ formundadır.

$p=6k+1 \Rightarrow 2p+7 = 12k+9$ olup $3$ ile bölünür.

$p=6k-1 \Rightarrow 4p+7 = 24k+3$ olup $3$ ile bölünür.

Buna göre tek asal sayı $3$ tür.

[Lokman Gökçe]

tebrikler Erhan hocam.

Bu tür soruların çözümünde temel bir yaklaşım şöyledir: belli bir değere kadar $p$ asalları denenir. (Örneğin $p=13$ e kadar denenir.) Sonra $p>13$ iken $p = 15k +1, 15k +2, 15k + 4, 15k+7, 15k +8, 15k+11, 15k+13, 15k+ 14$ formatında olmalıdır denilerek verilen bilgilerle  bir çelişki yakalamaya çalışırız.

[osman211]

hocam neden asal sayilar 6k-1 ve 6k+1 seklinde tam olarak nedir ispati

[Lokman Gökçe]

$p>3$ asal sayı olsun. $\pmod6$ da kalanlar ${0,1,2,3,4,5}$ olduğundan $p=6k, 6k + 1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5$ şeklinde olabilir. Ancak $6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4$ sayıları asal olamaz. Geriye $p=6k+1$ veya $p=6k+5$ durumları kalıyor.