Gönderen Konu: Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri  (Okunma sayısı 3193 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri
« : Mayıs 14, 2014, 11:04:22 ös »
  • $2^n$ sayısının ondalık yazılımı $2$ ile başlıyorsa, $5^n$ sayısının ondalık yazılımı hangi rakamlarla başlayabilir?
  • $2^n$ sayısı ile $5^n$ sayısının ondalık yazılımı $x$ rakamıyla başlıyorsa, $x$ in alabileceği değerleri bulunuz.
« Son Düzenleme: Mayıs 16, 2014, 09:21:54 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 118
  • Karma: +3/-1
Ynt: Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri
« Yanıtla #1 : Mayıs 16, 2014, 12:53:06 öö »
a)'nın cevabı, 3 veya 4 mü cevap emin olamadım
« Son Düzenleme: Mayıs 16, 2014, 09:22:19 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri
« Yanıtla #2 : Mayıs 16, 2014, 08:55:16 ös »
3 ve ya 4 mü cevap emin olamadım
Çok basit bir şey eksik.

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 118
  • Karma: +3/-1
Ynt: Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri
« Yanıtla #3 : Mayıs 18, 2014, 03:09:06 öö »
b nin cevabıda 1,2,3 olabilir diye buldum x in alabilceği değerleri

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1801
  • Karma: +8/-0
Ynt: Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri
« Yanıtla #4 : Mayıs 18, 2014, 10:56:22 öö »
Sorunun ilham kaynağı: 2001/27


  • $2 \cdot 10^k \leq 2^n < 3\cdot 10^k$

    $x \cdot 10^m \leq 5^n < (x+1)\cdot 10^m$

    $2x \cdot 10^{k+m} \leq 10^n < 3(x+1)\cdot 10^{k+m}$

    $2 \leq 2x \leq 10^{n-k-m} < 3(x+1) \leq 30$

    Öyleyse, $n-k-m=1$.

    $ 2x \leq 10 < 3(x+1) \Rightarrow 2<x \leq 5 \Rightarrow \boxed{x=3,4,5}$.


  • $x \cdot 10^k < 2^n < (x+1)\cdot 10^k$

    $x \cdot 10^m < 5^n < (x+1)\cdot 10^m$

    $x^2 \cdot 10^{k+m} < 10^n < (x+1)^2\cdot 10^{k+m}$

    $1 \leq x^2 < 10^{n-k-m} < (x+1)^2 \leq 100$

    Öyleyse, $n-k-m=1$.

    $ x^2 < 10 < (x+1)^2 \Rightarrow 2<x< 4 \Rightarrow \boxed{x=3}$.


NOT:
Orijinal sorudan farklı olarak, $a$ şıkkında, eşitsizliğin sol tarafında $\leq$ olması gerektiğini fark etmemiz gerekiyor. $2$ ya da $5$ nin herhangi bir üssünün sonunda $0$ olamaz; ama $2 \cdot 10^0 = 2$ ve $5 \cdot 10^0 = 5$ durumları eşitsizliğimizin istisnaları.
"O halde, sol tarafı hep $\leq$ ile yazalım. Hem $b$ şıkkında, hem de 2001/27 sorusunda sol tarafı $\leq$ ile yazdığımızda sonuç değişmiyor. Hem bu yöntemle, $a$ şıkkı da garanti altına alınıyor." diye düşünürsek, aşağıdaki soru bize yanıldığımızı gösterir:

$c)$ $2^n$ sayısının ondalık yazılımı $5$ ile başlıyorsa, $5^n$ sayısının ondalık yazılımı hangi rakam ile başlar?

Aşağıdaki tabloda, $2^n$ nin ilk basamağına karşı gelen $5^n$ nin ilk basamağı gösterilmiştir:

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
2^n \backslash 5^n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
1 & & & & & \times & \times & \times & \times & \times\\ \hline
2 & & & \times & \times & \color{red}{\times} & & & & \\ \hline
3 & & \times & \times & & & & & & \\ \hline
4 & & \times & & & & & & & \\ \hline
5 & \times & & & & & & & & \\ \hline
6 & \times & & & & & & & & \\ \hline
7 & \times & & & & & & & & \\ \hline
8 & \times & & & & & & & & \\ \hline
9 & \times & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}
$$
Dikkat ederseniz, $R = \{ (a,b) \mid a, 2^n \text{ nin ilk basamağı iken; } b, 5^n \text{ nin ilk basamağı}\}$ olarak tanımlanırsa, $(2,5) \in R$ olmasına rağmen $(5,2) \not\in R$. Onun haricinde $(a,b) \in R-\{(2,5)\} \Longleftrightarrow (b,a) \in R-\{(2,5)\}$ olduğu için $R-\{(2,5)\}$ bağıntısı simetriktir.
« Son Düzenleme: Mayıs 18, 2014, 01:30:38 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı kombinatorist

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 26
  • Karma: +0/-0
Ynt: Lise 1. Aşama 2001/27 Benzeri
« Yanıtla #5 : Mayıs 18, 2014, 11:55:22 öö »
Bu soru tipi çok hoş kaç kez gördüm bu soruyu umo'da çıkanı ama böyle güzel bir fikir olduğunu fark etmemiştim, kim yazdıysa tebrikler güzel bir noktaya değinmiş.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal